Страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

151. Докажите, что разверткой боковой поверхности правильного тетраэдра может быть трапеция.

Рассмотрим правильный тетраэдр со стороной $a$. Боковая поверхность правильного тетраэдра состоит из трех равных правильных треугольников, каждый из которых имеет сторону $a$.

Для доказательства того, что разверткой боковой поверхности правильного тетраэдра может быть трапеция, рассмотрим следующую конфигурацию расположения этих трех треугольников ($T_1, T_2, T_3$) в одной плоскости.

1. Расположим первый правильный треугольник $T_1$ так, чтобы одна из его сторон лежала на горизонтальной прямой. Пусть это будет треугольник $ABP$, где $A$, $B$ — вершины, лежащие на прямой, а $P$ — третья вершина. Длина каждой стороны треугольника $ABP$ равна $a$.

2. Присоединим второй правильный треугольник $T_2$ к $T_1$ по стороне $BP$. Пусть это будет треугольник $BCQ$, где $B$, $C$ — вершины, лежащие на той же горизонтальной прямой, что и $AB$, а $Q$ — третья вершина. Длина каждой стороны треугольника $BCQ$ равна $a$.

3. Присоединим третий правильный треугольник $T_3$ к $T_2$ по стороне $CQ$. Пусть это будет треугольник $CDR$, где $C$, $D$ — вершины, лежащие на той же горизонтальной прямой, что и $BC$, а $R$ — третья вершина. Длина каждой стороны треугольника $CDR$ равна $a$.

Таким образом, мы получили три правильных треугольника $ABP$, $BCQ$, $CDR$, расположенных так, что их основания $AB$, $BC$, $CD$ образуют единый отрезок $AD$ на горизонтальной прямой.

Рассмотрим внешний контур полученной плоской фигуры. Он представляет собой многоугольник с вершинами $A$, $D$, $R$, $Q$, $P$.

Проанализируем этот многоугольник:

• Нижняя сторона фигуры — это отрезок $AD$. Его длина равна сумме длин оснований трех треугольников: $AD = AB + BC + CD = a + a + a = 3a$.

• Вершины $P, Q, R$ являются вершинами соответствующих правильных треугольников. Поскольку все три треугольника правильные и расположены своими основаниями на одной прямой, их верхние вершины $P, Q, R$ будут лежать на одной прямой, параллельной нижней прямой.

  Чтобы подтвердить это, представим координаты: Пусть $A = (0,0)$. Тогда $B = (a,0)$, $C = (2a,0)$, $D = (3a,0)$. Вершина $P$ треугольника $ABP$ будет иметь координаты $(a/2, a\sqrt{3}/2)$. Вершина $Q$ треугольника $BCQ$ будет иметь координаты $(a + a/2, a\sqrt{3}/2) = (3a/2, a\sqrt{3}/2)$. Вершина $R$ треугольника $CDR$ будет иметь координаты $(2a + a/2, a\sqrt{3}/2) = (5a/2, a\sqrt{3}/2)$.

  Отрезок, соединяющий $P$ и $R$, является верхней стороной фигуры. Его координаты $P(a/2, a\sqrt{3}/2)$ и $R(5a/2, a\sqrt{3}/2)$. Этот отрезок горизонтален (имеет одинаковую координату $y$) и его длина составляет $5a/2 - a/2 = 2a$.

• Боковые (непараллельные) стороны фигуры:

  Отрезок $AP$ соединяет $(0,0)$ и $(a/2, a\sqrt{3}/2)$. Его длина равна $a$.

  Отрезок $DR$ соединяет $(3a,0)$ и $(5a/2, a\sqrt{3}/2)$. Его длина также равна $a$.

Таким образом, полученная плоская фигура $ADRP$ является четырехугольником, у которого стороны $AD$ (длиной $3a$) и $PR$ (длиной $2a$) параллельны. Стороны $AP$ и $DR$ равны по длине ($a$). Следовательно, эта фигура является равнобедренной трапецией.

Эта развертка, состоящая из трех равносторонних треугольников, может быть использована для формирования боковой поверхности правильного тетраэдра. При складывании этой развертки, стороны $AP$ и $DR$ будут склеиваться с соответствующими сторонами, а вершины $P, Q, R$ будут совпадать в одной точке, образуя общую вершину (апекс) тетраэдра. Отрезки $AB, BC, CD$ образуют ребра, лежащие в основании тетраэдра.

Ответ: Доказано, что разверткой боковой поверхности правильного тетраэдра может быть трапеция.

152. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку пересечения его диагоналей и перпендикулярной одной из них. Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Дано:

Куб с ребром $a$.

Найти:

Площадь сечения, проходящего через точку пересечения диагоналей куба и перпендикулярного одной из них.

Решение:

Представим куб в декартовой системе координат с вершинами в точках $(x,y,z)$, где $x, y, z \in \{0, a\}$. Без потери общности, пусть одна из вершин куба находится в начале координат $(0,0,0)$, а противоположная ей вершина - в точке $(a,a,a)$.

Точка пересечения диагоналей куба, то есть его центр, имеет координаты $O = (a/2, a/2, a/2)$.

Возьмем одну из главных диагоналей, например, диагональ, соединяющую вершины $(0,0,0)$ и $(a,a,a)$. Вектор, направленный вдоль этой диагонали, имеет координаты $(a,a,a)$.

Плоскость, перпендикулярная этому вектору, имеет уравнение вида $Ax+By+Cz=D$. Поскольку вектор нормали к плоскости параллелен $(a,a,a)$, мы можем взять его как $(1,1,1)$. Тогда уравнение плоскости: $x+y+z=D$. Так как плоскость проходит через центр куба $(a/2, a/2, a/2)$, подставим эти координаты в уравнение:

$a/2 + a/2 + a/2 = D$

$D = 3a/2$

Таким образом, уравнение секущей плоскости: $x+y+z = 3a/2$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Ребра куба - это отрезки, соединяющие вершины. Плоскость $x+y+z = 3a/2$ будет пересекать те ребра, для которых сумма координат одной вершины меньше $3a/2$, а другой - больше $3a/2$. Этими ребрами являются те, что не примыкают к вершинам $(0,0,0)$ и $(a,a,a)$.

1. Ребра, исходящие из вершины $(a,0,0)$:

• Вдоль оси $y$ (ребро от $(a,0,0)$ до $(a,a,0)$): $x=a, z=0$. Уравнение плоскости: $a+y+0 = 3a/2 \Rightarrow y = a/2$. Точка пересечения: $P_1(a, a/2, 0)$. Это середина ребра.
• Вдоль оси $z$ (ребро от $(a,0,0)$ до $(a,0,a)$): $x=a, y=0$. Уравнение плоскости: $a+0+z = 3a/2 \Rightarrow z = a/2$. Точка пересечения: $P_2(a, 0, a/2)$. Это середина ребра.

2. Ребра, исходящие из вершины $(0,a,0)$:

• Вдоль оси $x$ (ребро от $(0,a,0)$ до $(a,a,0)$): $y=a, z=0$. Уравнение плоскости: $x+a+0 = 3a/2 \Rightarrow x = a/2$. Точка пересечения: $P_3(a/2, a, 0)$. Это середина ребра.
• Вдоль оси $z$ (ребро от $(0,a,0)$ до $(0,a,a)$): $x=0, y=a$. Уравнение плоскости: $0+a+z = 3a/2 \Rightarrow z = a/2$. Точка пересечения: $P_4(0, a, a/2)$. Это середина ребра.

3. Ребра, исходящие из вершины $(0,0,a)$:

• Вдоль оси $x$ (ребро от $(0,0,a)$ до $(a,0,a)$): $y=0, z=a$. Уравнение плоскости: $x+0+a = 3a/2 \Rightarrow x = a/2$. Точка пересечения: $P_5(a/2, 0, a)$. Это середина ребра.
• Вдоль оси $y$ (ребро от $(0,0,a)$ до $(0,a,a)$): $x=0, z=a$. Уравнение плоскости: $0+y+a = 3a/2 \Rightarrow y = a/2$. Точка пересечения: $P_6(0, a/2, a)$. Это середина ребра.

Таким образом, сечение куба плоскостью представляет собой шестиугольник с вершинами в точках $P_1(a, a/2, 0)$, $P_2(a, 0, a/2)$, $P_3(a/2, a, 0)$, $P_4(0, a, a/2)$, $P_5(a/2, 0, a)$, $P_6(0, a/2, a)$. Все эти точки являются серединами ребер куба.

Поскольку плоскость перпендикулярна главной диагонали куба и проходит через его центр, полученное сечение является правильным шестиугольником.

Найдем длину стороны $s$ этого шестиугольника, например, расстояние между $P_1(a, a/2, 0)$ и $P_2(a, 0, a/2)$:$s = \sqrt{(a-a)^2 + (a/2-0)^2 + (0-a/2)^2} = \sqrt{0^2 + (a/2)^2 + (-a/2)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2/4} = \sqrt{2a^2/4} = \sqrt{a^2/2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $A = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.

Подставим найденное значение $s$:

$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{a^2}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$.

153. Дан правильный тетраэдр $PABC$ с ребром, равным $a$. Его сечение плоскостью, параллельной двум его ребрам, лежащим на скрещивающихся прямых, является квадратом $MNKL$. Найдите площадь поверхности пирамиды $PMNKL$.

Дано:

Правильный тетраэдр $PABC$ с ребром $a$.

Сечение плоскостью, параллельной двум скрещивающимся ребрам, является квадратом $MNKL$.

Найти:

Площадь поверхности пирамиды $PMNKL$.

Решение:

Пусть скрещивающиеся ребра тетраэдра $PABC$, которым параллельна плоскость сечения, будут $PA$ и $BC$.

Квадрат $MNKL$ является сечением, параллельным этим двум скрещивающимся ребрам. Его вершины $M, N, K, L$ лежат на остальных четырех ребрах тетраэдра: $PB, PC, AB, AC$.

Пусть $M \in PB$, $N \in PC$, $K \in AC$, $L \in AB$.

Так как плоскость сечения $MNKL$ параллельна ребру $PA$, то отрезки $ML$ и $NK$ (лежащие в этой плоскости) параллельны $PA$.

Так как плоскость сечения $MNKL$ параллельна ребру $BC$, то отрезки $MN$ и $KL$ (лежащие в этой плоскости) параллельны $BC$.

Обозначим сторону квадрата $MNKL$ как $s$.

Из подобия треугольников, образованных параллельными прямыми:

1. Поскольку $MN \parallel BC$ и $P, M, N$ лежат на ребрах, исходящих из $P$, треугольник $\triangle PMN$ подобен $\triangle PBC$. Так как $BC=a$ и $PB=a$, то $MN/BC = PM/PB$. Поскольку $MN=s$, получаем $s/a = PM/a$, откуда $PM=s$.

2. Поскольку $ML \parallel PA$ и $B, M, L$ лежат на ребрах, исходящих из $B$, треугольник $\triangle BML$ подобен $\triangle BPA$. Поскольку $PA=a$ и $BP=a$, то $ML/PA = BM/BP$. Поскольку $ML=s$, получаем $s/a = BM/a$, откуда $BM=s$.

Из равенства $BM=s$ следует, что $PM = PB - BM = a - s$.

Приравнивая два выражения для $PM$, получаем $s = a - s$, что дает $2s = a$, или $s = a/2$.

Таким образом, вершины квадрата $MNKL$ являются серединами соответствующих ребер тетраэдра:

$M$ - середина $PB$, $N$ - середина $PC$, $K$ - середина $AC$, $L$ - середина $AB$.

Сторона квадрата $MNKL$ равна $s = a/2$.

Площадь основания пирамиды $PMNKL$:

Основание пирамиды $PMNKL$ - это квадрат $MNKL$ со стороной $s = a/2$.

$S_{осн} = s^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$.

Площади боковых граней пирамиды $PMNKL$:

Пирамида $PMNKL$ имеет вершину $P$ и основание $MNKL$. Ее боковые грани - это треугольники $\triangle PMN$, $\triangle PNK$, $\triangle PKL$, $\triangle PLM$.

Длины ребер, исходящих из вершины $P$ к основанию:

$PM = \frac{1}{2}PB = \frac{a}{2}$ (так как $M$ - середина $PB$).

$PN = \frac{1}{2}PC = \frac{a}{2}$ (так как $N$ - середина $PC$).

$PL$ - это медиана в равностороннем треугольнике $PAB$ (так как $L$ - середина $AB$). Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $PL = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$PK$ - это медиана в равностороннем треугольнике $PAC$ (так как $K$ - середина $AC$). Длина медианы $PK = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим каждую боковую грань:

1. Грань $\triangle PMN$:

Стороны: $PM = a/2$, $PN = a/2$, $MN = a/2$ (сторона квадрата). Этот треугольник является равносторонним.

$S_{PMN} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16}a^2$.

2. Грань $\triangle PLM$:

Стороны: $PL = a\frac{\sqrt{3}}{2}$, $PM = a/2$, $LM = a/2$ (сторона квадрата).

Этот треугольник является равнобедренным с равными сторонами $PM=LM=a/2$ и основанием $PL=a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем высоту $h_M$ из вершины $M$ на основание $PL$. Высота делит основание пополам.

$h_M^2 = PM^2 - \left(\frac{PL}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4} - \frac{3a^2}{16} = \frac{4a^2 - 3a^2}{16} = \frac{a^2}{16}$.

$h_M = \frac{a}{4}$.

$S_{PLM} = \frac{1}{2} \cdot PL \cdot h_M = \frac{1}{2} \cdot \left(a\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{16}a^2$.

3. Грань $\triangle PNK$:

Стороны: $PN = a/2$, $NK = a/2$ (сторона квадрата), $PK = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Этот треугольник конгруэнтен $\triangle PLM$ (стороны $a/2, a/2, a\frac{\sqrt{3}}{2}$).

$S_{PNK} = \frac{\sqrt{3}}{16}a^2$.

4. Грань $\triangle PKL$:

Стороны: $PK = a\frac{\sqrt{3}}{2}$, $PL = a\frac{\sqrt{3}}{2}$, $KL = a/2$ (сторона квадрата).

Этот треугольник является равнобедренным с равными сторонами $PK=PL=a\frac{\sqrt{3}}{2}$ и основанием $KL=a/2$.

Найдем высоту $h_P$ из вершины $P$ на основание $KL$. Высота делит основание пополам.

$h_P^2 = PK^2 - \left(\frac{KL}{2}\right)^2 = \left(a\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{16} = \frac{12a^2 - a^2}{16} = \frac{11a^2}{16}$.

$h_P = \frac{a\sqrt{11}}{4}$.

$S_{PKL} = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot h_P = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{11}}{4}\right) = \frac{\sqrt{11}}{16}a^2$.

Полная площадь поверхности пирамиды:

Полная площадь поверхности пирамиды $PMNKL$ равна сумме площади ее основания и площадей всех боковых граней:

$S_{пов} = S_{осн} + S_{PMN} + S_{PLM} + S_{PNK} + S_{PKL}$

$S_{пов} = \frac{a^2}{4} + \frac{\sqrt{3}}{16}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{16}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{16}a^2 + \frac{\sqrt{11}}{16}a^2$

$S_{пов} = \frac{4a^2}{16} + \frac{3\sqrt{3}a^2}{16} + \frac{\sqrt{11}a^2}{16}$

$S_{пов} = \frac{a^2}{16}(4 + 3\sqrt{3} + \sqrt{11})$.

Ответ:

Площадь поверхности пирамиды $PMNKL$ составляет $\frac{a^2}{16}(4 + 3\sqrt{3} + \sqrt{11})$.

154. От правильного октаэдра $PABCD$, ребро которого равно 8 см, отрезали две равные правильные пирамиды с вершинами $P$ и $F$, боковые ребра которых равны 4 см. Найдите площадь полной поверхности получившегося многогранника.

Дано:

Правильный октаэдр $PABCDEF$.

Ребро октаэдра $a_O = 8$ см.

Отрезаны две равные правильные пирамиды с вершинами $P$ и $F$.

Боковые ребра отрезаемых пирамид $a_P = 4$ см.

Перевод в СИ:

$a_O = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}.$

$a_P = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}.$

Найти:

Площадь полной поверхности получившегося многогранника $S_{new}$.

Решение:

Правильный октаэдр состоит из 8 одинаковых равносторонних треугольников. Каждый такой треугольник имеет сторону, равную ребру октаэдра $a_O$.

Площадь одного равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

Площадь поверхности исходного октаэдра $S_{octahedron}$:

$S_{octahedron} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a_O^2 = 2\sqrt{3} a_O^2$.

Подставим значение $a_O = 8$ см:

$S_{octahedron} = 2\sqrt{3} (8 \text{ см})^2 = 2\sqrt{3} \cdot 64 \text{ см}^2 = 128\sqrt{3} \text{ см}^2$.

При отрезании двух правильных пирамид с вершинами $P$ и $F$, каждая из которых имеет боковые ребра длиной $a_P = 4$ см, происходит следующее: из восьми граней октаэдра (равносторонних треугольников со стороной 8 см) отсекаются части, и на их месте образуются новые плоские грани.

Рассмотрим одну из отрезаемых пирамид, например, с вершиной $P$. Ее боковые ребра длиной 4 см отсекают на исходных ребрах октаэдра (идущих из $P$ к $A, B, C, D$) отрезки длиной 4 см. Так как исходные грани октаэдра (например, $PAB$) являются равносторонними треугольниками, угол при вершине $P$ (например, $\angle APB$) равен $60^\circ$. Следовательно, треугольники, образованные боковыми ребрами отсеченной пирамиды и ее основанием (например, $PA'B'$, где $A'$ и $B'$ - точки на $PA$ и $PB$ на расстоянии 4 см от $P$), также являются равносторонними треугольниками со стороной $4$ см.

Таким образом, отсекаемая пирамида с вершиной $P$ имеет 4 боковые грани, каждая из которых является равносторонним треугольником со стороной $a_P = 4$ см. Площадь одного такого маленького равностороннего треугольника:

$S_{small\_triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 \text{ см})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 \text{ см}^2 = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Когда пирамида отрезается, эти 4 треугольника (например, $PA'B'$, $PB'C'$, $PC'D'$, $PD'A'$) удаляются из поверхности исходного октаэдра.

Поскольку отрезаются две такие пирамиды (одна с вершины $P$, другая с вершины $F$), суммарная площадь, удаляемая с поверхности октаэдра, составляет:

$S_{removed} = 2 \times (4 \times S_{small\_triangle}) = 8 \times 4\sqrt{3} \text{ см}^2 = 32\sqrt{3} \text{ см}^2$.

На месте каждого среза образуется новая грань многогранника — основание отсеченной пирамиды. Поскольку отсекаемые пирамиды являются правильными и их боковые ребра образуют равносторонние треугольники (как $PA'B'$), основания этих пирамид являются квадратами со стороной, равной длине ребра этих маленьких треугольников, то есть $4$ см.

Площадь одного основания отсеченной пирамиды (квадрата со стороной 4 см):

$S_{base\_cut\_pyr} = (4 \text{ см})^2 = 16 \text{ см}^2$.

Поскольку отрезаны две пирамиды, появляются две такие новые квадратные грани.

Суммарная площадь новых граней:

$S_{added} = 2 \times S_{base\_cut\_pyr} = 2 \times 16 \text{ см}^2 = 32 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности получившегося многогранника $S_{new}$ будет равна площади исходного октаэдра за вычетом удаленных частей и прибавлением вновь образованных граней:

$S_{new} = S_{octahedron} - S_{removed} + S_{added}$.

$S_{new} = 128\sqrt{3} \text{ см}^2 - 32\sqrt{3} \text{ см}^2 + 32 \text{ см}^2$.

$S_{new} = (128 - 32)\sqrt{3} \text{ см}^2 + 32 \text{ см}^2$.

$S_{new} = 96\sqrt{3} + 32 \text{ см}^2$.

Ответ:

Площадь полной поверхности получившегося многогранника равна $96\sqrt{3} + 32 \text{ см}^2$.

155. Найдите в Интернете развертки правильных додекаэдра и икосаэдра и изготовьте их модели.

Для выполнения данной задачи необходимо выполнить два основных действия: найти развертки правильных додекаэдра и икосаэдра в интернете и затем изготовить их физические модели.

Найдите в Интернете развертки правильных додекаэдра и икосаэдра

Правильный додекаэдр — это многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольных граней. Правильный икосаэдр — это многогранник, состоящий из 20 правильных треугольных граней. Для нахождения их разверток (также известных как «nets» на английском языке) в интернете, вы можете использовать следующие поисковые запросы:

• «развертка додекаэдра распечатать» или «dodecahedron net printable»

• «развертка икосаэдра распечатать» или «icosahedron net printable»

При поиске рекомендуется обратить внимание на развертки, которые уже включают специальные клапаны (или «ушки») по краям граней. Эти клапаны значительно облегчают процесс склеивания модели. Выбирайте изображения высокого разрешения для печати, чтобы обеспечить четкость линий и точность при вырезании и сборке.

Ответ:

Изготовьте их модели

После того как вы нашли и распечатали необходимые развертки, приступайте к изготовлению моделей, следуя этим шагам:

1. Подготовка материалов: Вам понадобятся распечатанные развертки (лучше всего на плотной бумаге или тонком картоне), острые ножницы или канцелярский нож (для большей точности), линейка, клей для бумаги (например, клей-карандаш, ПВА или модельный клей) и, возможно, инструмент для биговки (это может быть тупая сторона ножа, непишущая шариковая ручка или специальный инструмент для биговки).

2. Вырезание разверток: Аккуратно вырежьте каждую развертку по внешнему контуру. Будьте предельно внимательны при вырезании всех клапанов, так как они необходимы для соединения граней. Точность на этом этапе важна для качества готовой модели.

3. Биговка и сгибание: Используя линейку и инструмент для биговки, аккуратно продавите все линии сгибов на развертке. Это создаст четкие, ровные линии и значительно облегчит дальнейшее сгибание. После биговки согните бумагу по всем намеченным линиям, включая линии клапанов.

4. Склеивание модели: Начните склеивание, нанося небольшое количество клея на клапаны и прижимая их к соответствующим граням. Постепенно склеивайте грани одну за другой, формируя объемную фигуру. Для додекаэдра вы будете склеивать 12 пятиугольных граней, а для икосаэдра — 20 треугольных граней. Работайте методично и дайте клею немного подсохнуть, прежде чем переходить к следующей грани, чтобы избежать деформации.

5. Финальная сушка: После того как все грани склеены и модель собрана, оставьте ее на некоторое время для полного высыхания клея. Это обеспечит прочность и стабильность вашей модели.

Ответ:

156. Существует ли невыпуклый многогранник, все грани которого – равные правильные многоугольники? Если существует, то изготовьте его модель.

Решение

Да, такие невыпуклые многогранники существуют. Они относятся к классу звездчатых многогранников, в частности, к четырем невыпуклым правильным многогранникам, известным как тела Кеплера-Пуансо. Среди них два многогранника полностью соответствуют описанию:

• Большой додекаэдр (Great Dodecahedron)

• Большой икосаэдр (Great Icosahedron)

Рассмотрим их подробнее:

Большой додекаэдр

Этот многогранник является невыпуклым. Все его грани – это 12 равных правильных пятиугольников. В каждой вершине сходятся 5 таких пятиугольников. Его можно представить как додекаэдр, грани которого продлены до пересечения, образуя звездчатую структуру.

Большой икосаэдр

Этот многогранник также является невыпуклым. Все его грани – это 20 равных правильных треугольников. В каждой вершине сходятся 5 таких треугольников. Его можно получить из икосаэдра путем звездчатого расширения.

Для изготовления модели любого из этих многогранников потребуется:

• Материалы: Картон, плотная бумага или пластик для граней, клей или скотч для соединения.

• Развертка: Необходимо найти или построить развертку соответствующего многогранника. Для большого додекаэдра это будет 12 пятиугольников, соединенных определенным образом, а для большого икосаэдра – 20 треугольников. Важно учесть, что эти многогранники являются самопересекающимися, поэтому при сборке модели их грани будут проникать друг в друга, создавая характерный "звездчатый" вид.

• Процесс сборки:

  1. Распечатать или начертить развертку на выбранном материале.

  2. Аккуратно вырезать все грани и клапаны для склеивания.

  3. Сделать сгибы по всем ребрам.

  4. Собрать многогранник, склеивая грани по клапанам. Из-за невыпуклости и самопересечения граней процесс может быть сложнее, чем для выпуклых многогранников. Иногда требуется внутренняя структура для поддержания формы.

Ответ: Да, такие многогранники существуют. Примерами являются Большой додекаэдр и Большой икосаэдр.

157. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через вершину $B$ и середины $M$ и $N$ ребер $AD$ и $CC_1$ проведена плоскость. Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости $ABC$.

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a$.

Через вершину $B$ и середины $M$ и $N$ рёбер $AD$ и $CC_1$ соответственно проведена плоскость $BMN$.

Угол наклона плоскости $BMN$ к плоскости $ABC$.

Для решения задачи введём систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин куба:

$A=(0,0,0)$

$B=(a,0,0)$

$C=(a,a,0)$

$D=(0,a,0)$

$A_1=(0,0,a)$

$B_1=(a,0,a)$

$C_1=(a,a,a)$

$D_1=(0,a,a)$

Найдём координаты середин рёбер $M$ и $N$:

Точка $M$ - середина ребра $AD$. $A=(0,0,0)$, $D=(0,a,0)$.

$M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, 0\right)$.

Точка $N$ - середина ребра $CC_1$. $C=(a,a,0)$, $C_1=(a,a,a)$.

$N = \left(\frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(a, a, \frac{a}{2}\right)$.

Плоскость $ABC$ лежит в плоскости $Oxy$, её уравнение $z=0$. Нормальный вектор к этой плоскости $\vec{n}_{ABC} = (0,0,1)$.

Для плоскости $BMN$ нам нужны векторы, лежащие в этой плоскости, например, $\vec{BM}$ и $\vec{BN}$.

$\vec{BM} = M - B = \left(0-a, \frac{a}{2}-0, 0-0\right) = \left(-a, \frac{a}{2}, 0\right)$.

$\vec{BN} = N - B = \left(a-a, a-0, \frac{a}{2}-0\right) = \left(0, a, \frac{a}{2}\right)$.

Нормальный вектор $\vec{n}_{BMN}$ к плоскости $BMN$ можно найти как векторное произведение $\vec{BM} \times \vec{BN}$:

$\vec{n}_{BMN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a & a/2 & 0 \\ 0 & a & a/2 \end{vmatrix}$

$\vec{n}_{BMN} = \mathbf{i}\left(\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot a\right) - \mathbf{j}\left(-a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot 0\right) + \mathbf{k}(-a \cdot a - \frac{a}{2} \cdot 0)$

$\vec{n}_{BMN} = \mathbf{i}\left(\frac{a^2}{4}\right) - \mathbf{j}\left(-\frac{a^2}{2}\right) + \mathbf{k}(-a^2)$

$\vec{n}_{BMN} = \left(\frac{a^2}{4}, \frac{a^2}{2}, -a^2\right)$.

Для удобства можем умножить этот вектор на $\frac{4}{a^2}$ (поскольку направление нормали не меняется от масштабирования):

$\vec{n}_{BMN} = (1, 2, -4)$.

Угол $\theta$ между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_{BMN} \cdot \vec{n}_{ABC}|}{||\vec{n}_{BMN}|| \cdot ||\vec{n}_{ABC}||}$

Вычислим скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n}_{BMN} \cdot \vec{n}_{ABC} = (1)(0) + (2)(0) + (-4)(1) = -4$.

Вычислим длины нормальных векторов:

$||\vec{n}_{BMN}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$.

$||\vec{n}_{ABC}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|-4|}{\sqrt{21} \cdot 1} = \frac{4}{\sqrt{21}}$.

Следовательно, угол наклона плоскости:

$\theta = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{21}}\right)$.

Угол наклона плоскости $BMN$ к плоскости $ABC$ равен $\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{21}}\right)$.

158. Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба (рисунок 90). Найдите площадь поверхности этого куба, если ребро правильного октаэдра равно $b$.

Рисунок 90

Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба (рисунок 90).

Правильный октаэдр имеет 8 граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Также он имеет 6 вершин и 12 рёбер. Октаэдр можно представить как двойную пирамиду, состоящую из двух правильных четырёхугольных пирамид, соединённых основаниями. Пусть центр октаэдра находится в начале координат $(0,0,0)$. Если ребро октаэдра равно $b$, то расстояние от центра до любой вершины октаэдра (полуось) равно $a = b/\sqrt{2}$. Вершины октаэдра расположены на осях координат и имеют координаты: $(\pm a, 0, 0)$, $(0, \pm a, 0)$, $(0, 0, \pm a)$. Например, это могут быть вершины: $V_1(a,0,0)$, $V_2(-a,0,0)$, $V_3(0,a,0)$, $V_4(0,-a,0)$, $V_5(0,0,a)$, $V_6(0,0,-a)$.

Теперь найдём центры граней. Каждая грань является равносторонним треугольником. Центр грани — это центроид треугольника, который находится как среднее арифметическое координат его вершин. Рассмотрим одну из 8 граней, например, треугольник, образованный вершинами $V_1(a,0,0)$, $V_3(0,a,0)$ и $V_5(0,0,a)$. Координаты центра этой грани $C_1$: $C_1 = \left( \frac{a+0+0}{3}, \frac{0+a+0}{3}, \frac{0+0+a}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a}{3} \right)$.

Перечислим все 8 центров граней:

1. Грань $(a,0,0), (0,a,0), (0,0,a) \implies C_1 = (a/3, a/3, a/3)$
2. Грань $(a,0,0), (0,-a,0), (0,0,a) \implies C_2 = (a/3, -a/3, a/3)$
3. Грань $(a,0,0), (0,a,0), (0,0,-a) \implies C_3 = (a/3, a/3, -a/3)$
4. Грань $(a,0,0), (0,-a,0), (0,0,-a) \implies C_4 = (a/3, -a/3, -a/3)$
5. Грань $(-a,0,0), (0,a,0), (0,0,a) \implies C_5 = (-a/3, a/3, a/3)$
6. Грань $(-a,0,0), (0,-a,0), (0,0,a) \implies C_6 = (-a/3, -a/3, a/3)$
7. Грань $(-a,0,0), (0,a,0), (0,0,-a) \implies C_7 = (-a/3, a/3, -a/3)$
8. Грань $(-a,0,0), (0,-a,0), (0,0,-a) \implies C_8 = (-a/3, -a/3, -a/3)$

Эти 8 точек имеют координаты вида $(\pm a/3, \pm a/3, \pm a/3)$. Это в точности координаты вершин куба, центрированного в начале координат, с ребром, равным $2 \times (a/3) = 2a/3$.

Ответ: Доказано, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.

Найдите площадь поверхности этого куба, если ребро правильного октаэдра равно $b$.

Дано:

Ребро правильного октаэдра: $b$

Найти:

Площадь поверхности куба $S_{куба}$

Решение:

Из предыдущего пункта мы установили, что вершины куба, образованного центрами граней октаэдра, имеют координаты вида $(\pm a/3, \pm a/3, \pm a/3)$, где $a$ – это расстояние от центра октаэдра до его вершины. Ребро $s$ этого куба равно $2 \times (a/3) = 2a/3$.

Известно, что для правильного октаэдра с ребром $b$, расстояние от центра до вершины $a$ связано с $b$ соотношением $a = \frac{b}{\sqrt{2}}$. Это соотношение можно вывести, например, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный центром октаэдра, вершиной на одной из осей и вершиной на смежной оси (например, $(0,0,0)$, $(a,0,0)$, $(0,a,0)$). Расстояние между $(a,0,0)$ и $(0,a,0)$ это ребро октаэдра $b$. Тогда по теореме Пифагора $b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $a^2 = b^2/2$, и $a = b/\sqrt{2}$.

Подставим значение $a$ в формулу для ребра куба $s$: $s = \frac{2a}{3} = \frac{2 \left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)}{3} = \frac{2b}{3\sqrt{2}}$.

Для упрощения выражения, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $s = \frac{2b\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2b\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{b\sqrt{2}}{3}$.

Площадь поверхности куба вычисляется по формуле $S_{куба} = 6s^2$. Подставим значение $s$: $S_{куба} = 6 \left( \frac{b\sqrt{2}}{3} \right)^2$. $S_{куба} = 6 \left( \frac{b^2 \times (\sqrt{2})^2}{3^2} \right)$. $S_{куба} = 6 \left( \frac{b^2 \times 2}{9} \right)$. $S_{куба} = 6 \times \frac{2b^2}{9}$. $S_{куба} = \frac{12b^2}{9}$.

Сократим дробь на 3: $S_{куба} = \frac{4b^2}{3}$.

Ответ: Площадь поверхности куба равна $4b^2/3$.

159. Для правильного октаэдра $EABCD F$ докажите, что отрезок, соединяющий центры граней $BCE$ и $ADF$, перпендикулярен плоскостям этих граней и найдите расстояние между ними.

Дано

Правильный октаэдр $EABCD F$.

Грани $BCE$ и $ADF$.

Найти

1. Доказать, что отрезок, соединяющий центры граней $BCE$ и $ADF$, перпендикулярен плоскостям этих граней.

2. Найти расстояние между плоскостями граней $BCE$ и $ADF$.

Система СИ

Данные не требуют перевода в систему СИ, так как это геометрическая задача без конкретных числовых значений длин. Длины будут выражены относительно длины ребра октаэдра.

Решение

Введем декартову систему координат с началом в центре октаэдра. Вершины правильного октаэдра с ребром длиной $l$ можно расположить следующим образом:

$A=(a,0,0)$, $B=(0,a,0)$, $C=(-a,0,0)$, $D=(0,-a,0)$, $E=(0,0,a)$, $F=(0,0,-a)$, где $l$ - длина ребра октаэдра. Длина ребра октаэдра $l$ связана с $a$ соотношением $l^2 = (a-0)^2 + (0-a)^2 + (0-0)^2 = 2a^2$, следовательно, $l = a\sqrt{2}$. Отсюда $a = \frac{l}{\sqrt{2}}$.

Доказательство того, что отрезок, соединяющий центры граней BCE и ADF, перпендикулярен плоскостям этих граней

Пусть $M_1$ - центр грани $BCE$, а $M_2$ - центр грани $ADF$. Поскольку грани октаэдра являются правильными треугольниками, их центры совпадают с центроидами. Координаты центроида треугольника находятся как среднее арифметическое координат его вершин.

Координаты вершин грани $BCE$: $B(0, a, 0)$, $C(-a, 0, 0)$, $E(0, 0, a)$.

Координаты центра $M_1$: $M_1 = \left( \frac{0 + (-a) + 0}{3}, \frac{a + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + a}{3} \right) = \left( -\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a}{3} \right)$.

Координаты вершин грани $ADF$: $A(a, 0, 0)$, $D(0, -a, 0)$, $F(0, 0, -a)$.

Координаты центра $M_2$: $M_2 = \left( \frac{a + 0 + 0}{3}, \frac{0 + (-a) + 0}{3}, \frac{0 + 0 + (-a)}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, -\frac{a}{3}, -\frac{a}{3} \right)$.

Отрезок, соединяющий центры граней, - это $M_1M_2$. Вектор $\vec{M_1M_2}$ равен:

$\vec{M_1M_2} = M_2 - M_1 = \left( \frac{a}{3} - (-\frac{a}{3}), -\frac{a}{3} - \frac{a}{3}, -\frac{a}{3} - \frac{a}{3} \right) = \left( \frac{2a}{3}, -\frac{2a}{3}, -\frac{2a}{3} \right)$.

Этот вектор пропорционален вектору $(1, -1, -1)$.

Найдем вектор нормали к плоскости грани $BCE$. Для этого возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{CB}$ и $\vec{CE}$.

$\vec{CB} = (0 - (-a), a - 0, 0 - 0) = (a, a, 0)$.

$\vec{CE} = (0 - (-a), 0 - 0, a - 0) = (a, 0, a)$.

Вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости $BCE$ находится как векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CE}$:

$\vec{n_1} = (a \cdot a - 0 \cdot 0, -(a \cdot a - 0 \cdot a), a \cdot 0 - a \cdot a) = (a^2, -a^2, -a^2)$.

Этот вектор $\vec{n_1}$ пропорционален вектору $(1, -1, -1)$.

Так как вектор $\vec{M_1M_2}$ параллелен вектору нормали $\vec{n_1}$ к плоскости грани $BCE$, то отрезок $M_1M_2$ перпендикулярен плоскости грани $BCE$.

Аналогично, найдем вектор нормали к плоскости грани $ADF$. Возьмем векторы $\vec{DA}$ и $\vec{DF}$.

$\vec{DA} = (a - 0, 0 - (-a), 0 - 0) = (a, a, 0)$.

$\vec{DF} = (0 - 0, 0 - (-a), -a - 0) = (0, a, -a)$.

Вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $ADF$ находится как векторное произведение $\vec{DA} \times \vec{DF}$:

$\vec{n_2} = (a \cdot (-a) - 0 \cdot a, -(a \cdot (-a) - 0 \cdot 0), a \cdot a - 0 \cdot a) = (-a^2, a^2, a^2)$.

Этот вектор $\vec{n_2}$ пропорционален вектору $(-1, 1, 1)$, который также пропорционален вектору $(1, -1, -1)$ (с противоположным знаком).

Таким образом, отрезок $M_1M_2$ также перпендикулярен плоскости грани $ADF$.

Нахождение расстояния между плоскостями этих граней

Расстояние между плоскостями граней $BCE$ и $ADF$ равно длине отрезка $M_1M_2$.

$|M_1M_2| = \sqrt{\left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2a}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{9} + \frac{4a^2}{9} + \frac{4a^2}{9}} = \sqrt{\frac{12a^2}{9}} = \sqrt{\frac{4a^2}{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

Выразим это расстояние через длину ребра октаэдра $l$. Известно, что $a = \frac{l}{\sqrt{2}}$.

Подставим $a$ в формулу для расстояния:

$d = \frac{2 \left(\frac{l}{\sqrt{2}}\right)\sqrt{3}}{3} = \frac{2l\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{2l\sqrt{3}\sqrt{2}}{3\cdot 2} = \frac{2l\sqrt{6}}{6} = \frac{l\sqrt{6}}{3}$.

Ответ

Доказательство того, что отрезок, соединяющий центры граней BCE и ADF, перпендикулярен плоскостям этих граней

Отрезок, соединяющий центры граней $BCE$ и $ADF$, перпендикулярен плоскостям этих граней. Это доказывается тем, что вектор, соединяющий центры граней, параллелен нормальным векторам к плоскостям этих граней.

Ответ:

Нахождение расстояния между плоскостями этих граней

Расстояние между плоскостями граней $BCE$ и $ADF$ составляет $d = \frac{l\sqrt{6}}{3}$, где $l$ - длина ребра правильного октаэдра.

Ответ: $\frac{l\sqrt{6}}{3}$.