Номер 158, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

158. Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба (рисунок 90). Найдите площадь поверхности этого куба, если ребро правильного октаэдра равно $b$.

Рисунок 90

Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба (рисунок 90).

Правильный октаэдр имеет 8 граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Также он имеет 6 вершин и 12 рёбер. Октаэдр можно представить как двойную пирамиду, состоящую из двух правильных четырёхугольных пирамид, соединённых основаниями. Пусть центр октаэдра находится в начале координат $(0,0,0)$. Если ребро октаэдра равно $b$, то расстояние от центра до любой вершины октаэдра (полуось) равно $a = b/\sqrt{2}$. Вершины октаэдра расположены на осях координат и имеют координаты: $(\pm a, 0, 0)$, $(0, \pm a, 0)$, $(0, 0, \pm a)$. Например, это могут быть вершины: $V_1(a,0,0)$, $V_2(-a,0,0)$, $V_3(0,a,0)$, $V_4(0,-a,0)$, $V_5(0,0,a)$, $V_6(0,0,-a)$.

Теперь найдём центры граней. Каждая грань является равносторонним треугольником. Центр грани — это центроид треугольника, который находится как среднее арифметическое координат его вершин. Рассмотрим одну из 8 граней, например, треугольник, образованный вершинами $V_1(a,0,0)$, $V_3(0,a,0)$ и $V_5(0,0,a)$. Координаты центра этой грани $C_1$: $C_1 = \left( \frac{a+0+0}{3}, \frac{0+a+0}{3}, \frac{0+0+a}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a}{3} \right)$.

Перечислим все 8 центров граней:

1. Грань $(a,0,0), (0,a,0), (0,0,a) \implies C_1 = (a/3, a/3, a/3)$
2. Грань $(a,0,0), (0,-a,0), (0,0,a) \implies C_2 = (a/3, -a/3, a/3)$
3. Грань $(a,0,0), (0,a,0), (0,0,-a) \implies C_3 = (a/3, a/3, -a/3)$
4. Грань $(a,0,0), (0,-a,0), (0,0,-a) \implies C_4 = (a/3, -a/3, -a/3)$
5. Грань $(-a,0,0), (0,a,0), (0,0,a) \implies C_5 = (-a/3, a/3, a/3)$
6. Грань $(-a,0,0), (0,-a,0), (0,0,a) \implies C_6 = (-a/3, -a/3, a/3)$
7. Грань $(-a,0,0), (0,a,0), (0,0,-a) \implies C_7 = (-a/3, a/3, -a/3)$
8. Грань $(-a,0,0), (0,-a,0), (0,0,-a) \implies C_8 = (-a/3, -a/3, -a/3)$

Эти 8 точек имеют координаты вида $(\pm a/3, \pm a/3, \pm a/3)$. Это в точности координаты вершин куба, центрированного в начале координат, с ребром, равным $2 \times (a/3) = 2a/3$.

Ответ: Доказано, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.

Найдите площадь поверхности этого куба, если ребро правильного октаэдра равно $b$.

Дано:

Ребро правильного октаэдра: $b$

Найти:

Площадь поверхности куба $S_{куба}$

Решение:

Из предыдущего пункта мы установили, что вершины куба, образованного центрами граней октаэдра, имеют координаты вида $(\pm a/3, \pm a/3, \pm a/3)$, где $a$ – это расстояние от центра октаэдра до его вершины. Ребро $s$ этого куба равно $2 \times (a/3) = 2a/3$.

Известно, что для правильного октаэдра с ребром $b$, расстояние от центра до вершины $a$ связано с $b$ соотношением $a = \frac{b}{\sqrt{2}}$. Это соотношение можно вывести, например, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный центром октаэдра, вершиной на одной из осей и вершиной на смежной оси (например, $(0,0,0)$, $(a,0,0)$, $(0,a,0)$). Расстояние между $(a,0,0)$ и $(0,a,0)$ это ребро октаэдра $b$. Тогда по теореме Пифагора $b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $a^2 = b^2/2$, и $a = b/\sqrt{2}$.

Подставим значение $a$ в формулу для ребра куба $s$: $s = \frac{2a}{3} = \frac{2 \left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)}{3} = \frac{2b}{3\sqrt{2}}$.

Для упрощения выражения, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $s = \frac{2b\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2b\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{b\sqrt{2}}{3}$.

Площадь поверхности куба вычисляется по формуле $S_{куба} = 6s^2$. Подставим значение $s$: $S_{куба} = 6 \left( \frac{b\sqrt{2}}{3} \right)^2$. $S_{куба} = 6 \left( \frac{b^2 \times (\sqrt{2})^2}{3^2} \right)$. $S_{куба} = 6 \left( \frac{b^2 \times 2}{9} \right)$. $S_{куба} = 6 \times \frac{2b^2}{9}$. $S_{куба} = \frac{12b^2}{9}$.

Сократим дробь на 3: $S_{куба} = \frac{4b^2}{3}$.

Ответ: Площадь поверхности куба равна $4b^2/3$.