Номер 153, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

153. Дан правильный тетраэдр $PABC$ с ребром, равным $a$. Его сечение плоскостью, параллельной двум его ребрам, лежащим на скрещивающихся прямых, является квадратом $MNKL$. Найдите площадь поверхности пирамиды $PMNKL$.

Дано:

Правильный тетраэдр $PABC$ с ребром $a$.

Сечение плоскостью, параллельной двум скрещивающимся ребрам, является квадратом $MNKL$.

Найти:

Площадь поверхности пирамиды $PMNKL$.

Решение:

Пусть скрещивающиеся ребра тетраэдра $PABC$, которым параллельна плоскость сечения, будут $PA$ и $BC$.

Квадрат $MNKL$ является сечением, параллельным этим двум скрещивающимся ребрам. Его вершины $M, N, K, L$ лежат на остальных четырех ребрах тетраэдра: $PB, PC, AB, AC$.

Пусть $M \in PB$, $N \in PC$, $K \in AC$, $L \in AB$.

Так как плоскость сечения $MNKL$ параллельна ребру $PA$, то отрезки $ML$ и $NK$ (лежащие в этой плоскости) параллельны $PA$.

Так как плоскость сечения $MNKL$ параллельна ребру $BC$, то отрезки $MN$ и $KL$ (лежащие в этой плоскости) параллельны $BC$.

Обозначим сторону квадрата $MNKL$ как $s$.

Из подобия треугольников, образованных параллельными прямыми:

1. Поскольку $MN \parallel BC$ и $P, M, N$ лежат на ребрах, исходящих из $P$, треугольник $\triangle PMN$ подобен $\triangle PBC$. Так как $BC=a$ и $PB=a$, то $MN/BC = PM/PB$. Поскольку $MN=s$, получаем $s/a = PM/a$, откуда $PM=s$.

2. Поскольку $ML \parallel PA$ и $B, M, L$ лежат на ребрах, исходящих из $B$, треугольник $\triangle BML$ подобен $\triangle BPA$. Поскольку $PA=a$ и $BP=a$, то $ML/PA = BM/BP$. Поскольку $ML=s$, получаем $s/a = BM/a$, откуда $BM=s$.

Из равенства $BM=s$ следует, что $PM = PB - BM = a - s$.

Приравнивая два выражения для $PM$, получаем $s = a - s$, что дает $2s = a$, или $s = a/2$.

Таким образом, вершины квадрата $MNKL$ являются серединами соответствующих ребер тетраэдра:

$M$ - середина $PB$, $N$ - середина $PC$, $K$ - середина $AC$, $L$ - середина $AB$.

Сторона квадрата $MNKL$ равна $s = a/2$.

Площадь основания пирамиды $PMNKL$:

Основание пирамиды $PMNKL$ - это квадрат $MNKL$ со стороной $s = a/2$.

$S_{осн} = s^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$.

Площади боковых граней пирамиды $PMNKL$:

Пирамида $PMNKL$ имеет вершину $P$ и основание $MNKL$. Ее боковые грани - это треугольники $\triangle PMN$, $\triangle PNK$, $\triangle PKL$, $\triangle PLM$.

Длины ребер, исходящих из вершины $P$ к основанию:

$PM = \frac{1}{2}PB = \frac{a}{2}$ (так как $M$ - середина $PB$).

$PN = \frac{1}{2}PC = \frac{a}{2}$ (так как $N$ - середина $PC$).

$PL$ - это медиана в равностороннем треугольнике $PAB$ (так как $L$ - середина $AB$). Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $PL = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$PK$ - это медиана в равностороннем треугольнике $PAC$ (так как $K$ - середина $AC$). Длина медианы $PK = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим каждую боковую грань:

1. Грань $\triangle PMN$:

Стороны: $PM = a/2$, $PN = a/2$, $MN = a/2$ (сторона квадрата). Этот треугольник является равносторонним.

$S_{PMN} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16}a^2$.

2. Грань $\triangle PLM$:

Стороны: $PL = a\frac{\sqrt{3}}{2}$, $PM = a/2$, $LM = a/2$ (сторона квадрата).

Этот треугольник является равнобедренным с равными сторонами $PM=LM=a/2$ и основанием $PL=a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем высоту $h_M$ из вершины $M$ на основание $PL$. Высота делит основание пополам.

$h_M^2 = PM^2 - \left(\frac{PL}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4} - \frac{3a^2}{16} = \frac{4a^2 - 3a^2}{16} = \frac{a^2}{16}$.

$h_M = \frac{a}{4}$.

$S_{PLM} = \frac{1}{2} \cdot PL \cdot h_M = \frac{1}{2} \cdot \left(a\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{16}a^2$.

3. Грань $\triangle PNK$:

Стороны: $PN = a/2$, $NK = a/2$ (сторона квадрата), $PK = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Этот треугольник конгруэнтен $\triangle PLM$ (стороны $a/2, a/2, a\frac{\sqrt{3}}{2}$).

$S_{PNK} = \frac{\sqrt{3}}{16}a^2$.

4. Грань $\triangle PKL$:

Стороны: $PK = a\frac{\sqrt{3}}{2}$, $PL = a\frac{\sqrt{3}}{2}$, $KL = a/2$ (сторона квадрата).

Этот треугольник является равнобедренным с равными сторонами $PK=PL=a\frac{\sqrt{3}}{2}$ и основанием $KL=a/2$.

Найдем высоту $h_P$ из вершины $P$ на основание $KL$. Высота делит основание пополам.

$h_P^2 = PK^2 - \left(\frac{KL}{2}\right)^2 = \left(a\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{16} = \frac{12a^2 - a^2}{16} = \frac{11a^2}{16}$.

$h_P = \frac{a\sqrt{11}}{4}$.

$S_{PKL} = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot h_P = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{11}}{4}\right) = \frac{\sqrt{11}}{16}a^2$.

Полная площадь поверхности пирамиды:

Полная площадь поверхности пирамиды $PMNKL$ равна сумме площади ее основания и площадей всех боковых граней:

$S_{пов} = S_{осн} + S_{PMN} + S_{PLM} + S_{PNK} + S_{PKL}$

$S_{пов} = \frac{a^2}{4} + \frac{\sqrt{3}}{16}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{16}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{16}a^2 + \frac{\sqrt{11}}{16}a^2$

$S_{пов} = \frac{4a^2}{16} + \frac{3\sqrt{3}a^2}{16} + \frac{\sqrt{11}a^2}{16}$

$S_{пов} = \frac{a^2}{16}(4 + 3\sqrt{3} + \sqrt{11})$.

Ответ:

Площадь поверхности пирамиды $PMNKL$ составляет $\frac{a^2}{16}(4 + 3\sqrt{3} + \sqrt{11})$.