Номер 147, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

147. a) Площадь полной поверхности правильного додекаэдра равна $ \frac{135}{\text{tg } 36^\circ} $ $\text{см}^2$. Найдите длину его ребра.

б) Найдите длину ребра правильного икосаэдра, площадь полной поверхности которого равна $ 80\sqrt{3} $ $\text{см}^2$.

a) Площадь полной поверхности правильного додекаэдра равна $ \frac{135}{\text{tg } 36^\circ} \text{ см}^2 $. Найдите длину его ребра.

Дано:

Площадь полной поверхности правильного додекаэдра $S = \frac{135}{\text{tg } 36^\circ} \text{ см}^2$.

Перевод в СИ: (Не требуется, так как исходные единицы измерения (см, см$^2$) являются стандартными для геометрических задач и не требуют преобразования в метры или м$^2$ для получения корректного ответа в заданной системе измерений.)

Найти: Длину ребра додекаэдра $a$.

Решение:

Правильный додекаэдр имеет 12 граней, каждая из которых является правильным пятиугольником. Площадь полной поверхности правильного додекаэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{15 a^2}{\text{tg } 36^\circ}$

Приравниваем заданную площадь к формуле:

$\frac{15 a^2}{\text{tg } 36^\circ} = \frac{135}{\text{tg } 36^\circ}$

Умножим обе части уравнения на $\text{tg } 36^\circ$ (поскольку $\text{tg } 36^\circ \neq 0$):

$15 a^2 = 135$

Разделим обе части на 15:

$a^2 = \frac{135}{15}$

$a^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку длина ребра не может быть отрицательной, берем только положительное значение:

$a = \sqrt{9}$

$a = 3 \text{ см}$

Ответ:

3 см

б) Найдите длину ребра правильного икосаэдра, площадь полной поверхности которого равна $ 80\sqrt{3} \text{ см}^2 $.

Дано:

Площадь полной поверхности правильного икосаэдра $S = 80\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Перевод в СИ: (Не требуется, так как исходные единицы измерения (см, см$^2$) являются стандартными для геометрических задач и не требуют преобразования в метры или м$^2$ для получения корректного ответа в заданной системе измерений.)

Найти: Длину ребра икосаэдра $a$.

Решение:

Правильный икосаэдр имеет 20 граней, каждая из которых является правильным (равносторонним) треугольником. Площадь полной поверхности правильного икосаэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$S = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

$S = 5\sqrt{3} a^2$

Приравниваем заданную площадь к формуле:

$5\sqrt{3} a^2 = 80\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{3} \neq 0$):

$5 a^2 = 80$

Разделим обе части на 5:

$a^2 = \frac{80}{5}$

$a^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку длина ребра не может быть отрицательной, берем только положительное значение:

$a = \sqrt{16}$

$a = 4 \text{ см}$

Ответ:

4 см