Страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

142. Изготовьте модель правильного октаэдра, ребро которого равно 8 см. На рисунке 88 показана развертка октаэдра с клапанами для склеивания.

Рисунок 88

Дано

Ребро правильного октаэдра $a = 8 \text{ см}$.

Развертка октаэдра с клапанами для склеивания (Рисунок 88).

Перевод в СИ:

$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти:

Как изготовить модель правильного октаэдра.

Решение

Для изготовления модели правильного октаэдра с ребром 8 см, следуйте приведенной ниже инструкции:

1. Начертите развертку октаэдра, представленную на Рисунке 88. Каждый из восьми равносторонних треугольников, составляющих развертку, должен иметь сторону, равную длине ребра, то есть 8 см. Убедитесь, что все клапаны для склеивания также начерчены согласно изображению, с их шириной, достаточной для надежного приклеивания.

2. Аккуратно вырежьте начерченную развертку по всем внешним контурам, включая клапаны. Важно, чтобы линии разреза были ровными и точными для получения качественной модели.

3. Осторожно согните развертку по всем внутренним линиям, которые разделяют треугольники. Используйте линейку или тупой предмет для создания четких и ровных сгибов, что поможет придать модели правильную форму.

4. Нанесите клей на клапаны. Последовательно склейте грани октаэдра, прижимая клапаны к внутренней стороне соседних граней. Начинайте склеивание с центральной части развертки, постепенно формируя две сопряженные пирамиды, а затем соединяя их основания. Обеспечьте хорошее прилегание склеиваемых поверхностей.

5. Дайте клею полностью высохнуть, чтобы модель приобрела необходимую прочность и стабильность.

Ответ:

Модель правильного октаэдра с ребром 8 см может быть изготовлена путем аккуратного вырезания и склеивания развертки, показанной на Рисунке 88, где каждый треугольник имеет сторону 8 см.

Рисунок 88

143. Дан правильный многогранник, ребро которого равно 6 см. Найдите расстояние между центрами двух его соседних граней, если этот многогранник:

а) тетраэдр;

б) октаэдр.

Дано:

Дан правильный многогранник. Длина ребра $a = 6$ см.

Перевод в СИ: $a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние между центрами двух его соседних граней.

Решение:

Грани как тетраэдра, так и октаэдра являются правильными треугольниками. Центр правильного треугольника (равностороннего) совпадает с его центроидом. Расстояние от центроида равностороннего треугольника до середины любой его стороны равно одной трети высоты этого треугольника.

Высота $h_{грани}$ правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h_{грани} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние от центра грани до середины общего ребра соседних граней (обозначим его $d_M$) равно: $d_M = \frac{1}{3} h_{грани} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Пусть $P_1$ и $P_2$ - центры двух соседних граней, $M$ - середина их общего ребра. Треугольник $P_1 M P_2$ является равнобедренным с $P_1 M = P_2 M = d_M$. Угол $\angle P_1 M P_2$ равен двугранному углу $\theta$ между этими гранями. Расстояние между центрами граней $P_1 P_2$ можно найти по теореме косинусов: $P_1 P_2^2 = P_1 M^2 + P_2 M^2 - 2 P_1 M \cdot P_2 M \cos \theta$ $P_1 P_2^2 = 2 d_M^2 (1 - \cos \theta)$.

а) тетраэдр

Для правильного тетраэдра двугранный угол $\theta_{тет}$ имеет косинус: $\cos \theta_{тет} = \frac{1}{3}$.

Подставляем значения $d_M = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ и $\cos \theta_{тет} = \frac{1}{3}$ в формулу для $P_1 P_2^2$: $P_1 P_2^2 = 2 \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{3}\right)$ $P_1 P_2^2 = 2 \left(\frac{3a^2}{36}\right) \left(\frac{2}{3}\right)$ $P_1 P_2^2 = 2 \left(\frac{a^2}{12}\right) \left(\frac{2}{3}\right)$ $P_1 P_2^2 = \frac{4a^2}{36} = \frac{a^2}{9}$.

Следовательно, расстояние $P_1 P_2 = \sqrt{\frac{a^2}{9}} = \frac{a}{3}$.

Подставляем значение $a = 6$ см: $P_1 P_2 = \frac{6 \text{ см}}{3} = 2 \text{ см}$.

Ответ: $2$ см

б) октаэдр

Для правильного октаэдра двугранный угол $\theta_{окт}$ имеет косинус: $\cos \theta_{окт} = -\frac{1}{3}$.

Подставляем значения $d_M = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ и $\cos \theta_{окт} = -\frac{1}{3}$ в формулу для $P_1 P_2^2$: $P_1 P_2^2 = 2 \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right)$ $P_1 P_2^2 = 2 \left(\frac{3a^2}{36}\right) \left(1 + \frac{1}{3}\right)$ $P_1 P_2^2 = 2 \left(\frac{a^2}{12}\right) \left(\frac{4}{3}\right)$ $P_1 P_2^2 = \frac{8a^2}{36} = \frac{2a^2}{9}$.

Следовательно, расстояние $P_1 P_2 = \sqrt{\frac{2a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$.

Подставляем значение $a = 6$ см: $P_1 P_2 = \frac{6\sqrt{2} \text{ см}}{3} = 2\sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см

144. Найдите отношение площадей полных поверхностей правильных тетраэдра и октаэдра, ребро каждого из которых равно $a$.

Дано:

Ребро правильного тетраэдра: $a$

Ребро правильного октаэдра: $a$

Перевод в СИ:

(Величина $a$ является произвольной длиной и не требует перевода в конкретные единицы СИ, так как ответ будет в виде отношения, не зависящего от единиц измерения)

Найти:

Отношение площадей полных поверхностей тетраэдра и октаэдра: $S_{тетраэдра} / S_{октаэдра}$

Решение:

Правильный тетраэдр и правильный октаэдр являются правильными многогранниками (Платоновыми телами), грани которых представляют собой равносторонние треугольники. Ребро каждой из фигур равно $a$.

1. Площадь одной грани:

Каждая грань обеих фигур — это равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $x$ вычисляется по формуле $S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$.

Следовательно, площадь одной грани $S_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

2. Площадь полной поверхности правильного тетраэдра:

Правильный тетраэдр имеет 4 грани, и все они являются равносторонними треугольниками. Таким образом, полная поверхность тетраэдра $S_{тетраэдра}$ равна 4 умножить на площадь одной грани.

$S_{тетраэдра} = 4 \times S_{грани} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \sqrt{3} a^2$

3. Площадь полной поверхности правильного октаэдра:

Правильный октаэдр имеет 8 граней, и все они также являются равносторонними треугольниками. Таким образом, полная поверхность октаэдра $S_{октаэдра}$ равна 8 умножить на площадь одной грани.

$S_{октаэдра} = 8 \times S_{грани} = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 2\sqrt{3} a^2$

4. Отношение площадей полных поверхностей:

Теперь найдем отношение площади полной поверхности тетраэдра к площади полной поверхности октаэдра:

$\frac{S_{тетраэдра}}{S_{октаэдра}} = \frac{\sqrt{3} a^2}{2\sqrt{3} a^2}$

Сократим общие множители $\sqrt{3} a^2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{S_{тетраэдра}}{S_{октаэдра}} = \frac{1}{2}$

Ответ:

Отношение площадей полных поверхностей правильных тетраэдра и октаэдра, ребро каждого из которых равно $a$, составляет $1/2$.

145.

а) Является ли правильным тетраэдром правильная треугольная пирамида, площадь основания которой равна $\sqrt{3}$ дм$^2$, а ее апофема равна $\sqrt{3}$ дм?

б) Дана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна $\sqrt{1,5}$ дм. Какую длину должна иметь ее высота, чтобы эта пирамида была правильным тетраэдром?

a)

Дано:

Правильная треугольная пирамида.
Площадь основания $S_{осн} = \sqrt{3}$ дм$^2$.
Апофема $l = \sqrt{3}$ дм.

Перевод в СИ:

$S_{осн} = \sqrt{3} \text{ дм}^2 = \sqrt{3} \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = \sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$.
$l = \sqrt{3} \text{ дм} = \sqrt{3} \cdot 10^{-1} \text{ м}$.

Найти:

Является ли данная пирамида правильным тетраэдром?

Решение:

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида, у которой все четыре грани являются равносторонними треугольниками, а следовательно, все шесть ребер равны по длине.

Пусть сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$. Площадь основания $S_{осн}$ для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

По условию $S_{осн} = \sqrt{3}$ дм$^2$. Подставим это значение в формулу:
$\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Разделим обе части на $\sqrt{3}$ (так как $\sqrt{3} \ne 0$):
$1 = \frac{a^2}{4}$
$a^2 = 4$
Так как длина стороны не может быть отрицательной, $a = 2$ дм.

Апофема $l$ правильной треугольной пирамиды - это высота боковой грани. Если пирамида является правильным тетраэдром, то ее боковые грани также являются равносторонними треугольниками со стороной $a$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$l = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим найденное значение $a = 2$ дм:
$l = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм.

Полученное значение апофемы $l = \sqrt{3}$ дм совпадает с апофемой, данной в условии задачи. Поскольку сторона основания равна 2 дм, и апофема соответствует высоте равностороннего треугольника со стороной 2 дм, это означает, что все грани пирамиды являются равносторонними треугольниками со стороной 2 дм. Таким образом, все ребра пирамиды равны 2 дм. Это и является определением правильного тетраэдра.

Ответ: Да, является.

b)

Дано:

Правильная треугольная пирамида.
Сторона основания $a_{осн} = \sqrt{1.5}$ дм.

Перевод в СИ:

$a_{осн} = \sqrt{1.5} \text{ дм} = \sqrt{1.5} \cdot 10^{-1} \text{ м}$.

Найти:

Высота $H$ пирамиды, чтобы она была правильным тетраэдром.

Решение:

Для того чтобы правильная треугольная пирамида была правильным тетраэдром, все ее ребра должны быть равны. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$. Тогда, согласно условию, $a = a_{осн} = \sqrt{1.5}$ дм.

Высота $H$ правильной треугольной пирамиды опускается в центр основания (центроид равностороннего треугольника). Боковое ребро $L$ пирамиды (в данном случае $L=a$) образует прямоугольный треугольник с высотой $H$ и радиусом $R$ описанной окружности вокруг основания.

Радиус $R$ описанной окружности вокруг равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, радиусом $R$ и боковым ребром $a$:
$H^2 + R^2 = a^2$.

Выразим $H^2$:
$H^2 = a^2 - R^2$.

Подставим выражение для $R$:
$H^2 = a^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2$
$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{3}$
$H^2 = \frac{3a^2 - a^2}{3}$
$H^2 = \frac{2a^2}{3}$.

Теперь найдем $H$, взяв квадратный корень:
$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} = a\frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = a\frac{\sqrt{6}}{3}$.

По условию сторона основания $a = \sqrt{1.5}$ дм. Преобразуем $\sqrt{1.5}$:
$\sqrt{1.5} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.

Подставим это значение $a$ в формулу для $H$:
$H = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$
$H = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3}$
$H = \frac{(\sqrt{3})^2}{3}$
$H = \frac{3}{3}$
$H = 1$ дм.

Ответ: Высота должна быть $1$ дм.

146. Какова площадь полной поверхности правильного тетраэдра, высота которого равна $\sqrt{6}$ м?

Дано:

Правильный тетраэдр.
Высота тетраэдра $h = \sqrt{6}$ м.

Перевод в СИ:

Все величины уже приведены в СИ.

Найти:

Площадь полной поверхности тетраэдра $S_{полн}$.

Решение:

Правильный тетраэдр состоит из четырех одинаковых равносторонних треугольных граней. Пусть $a$ – длина ребра правильного тетраэдра.

Высота правильного тетраэдра $h$ связана с длиной его ребра $a$ формулой:
$h = a\sqrt{\frac{2}{3}}$

Выразим $a$ из этой формулы:
$a = h\sqrt{\frac{3}{2}}$

Подставим заданное значение высоты $h = \sqrt{6}$ м:
$a = \sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}$
$a = \sqrt{\frac{6 \cdot 3}{2}}$
$a = \sqrt{\frac{18}{2}}$
$a = \sqrt{9}$
$a = 3$ м

Площадь одной грани равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

Площадь полной поверхности тетраэдра $S_{полн}$ равна сумме площадей четырех его граней:
$S_{полн} = 4 \cdot S_{грани}$
$S_{полн} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
$S_{полн} = \sqrt{3}a^2$

Подставим найденное значение $a = 3$ м:
$S_{полн} = \sqrt{3} \cdot (3)^2$
$S_{полн} = \sqrt{3} \cdot 9$
$S_{полн} = 9\sqrt{3}$ м$^2$

Ответ: $9\sqrt{3}$ м$^2$.

147. a) Площадь полной поверхности правильного додекаэдра равна $ \frac{135}{\text{tg } 36^\circ} $ $\text{см}^2$. Найдите длину его ребра.

б) Найдите длину ребра правильного икосаэдра, площадь полной поверхности которого равна $ 80\sqrt{3} $ $\text{см}^2$.

a) Площадь полной поверхности правильного додекаэдра равна $ \frac{135}{\text{tg } 36^\circ} \text{ см}^2 $. Найдите длину его ребра.

Дано:

Площадь полной поверхности правильного додекаэдра $S = \frac{135}{\text{tg } 36^\circ} \text{ см}^2$.

Перевод в СИ: (Не требуется, так как исходные единицы измерения (см, см$^2$) являются стандартными для геометрических задач и не требуют преобразования в метры или м$^2$ для получения корректного ответа в заданной системе измерений.)

Найти: Длину ребра додекаэдра $a$.

Решение:

Правильный додекаэдр имеет 12 граней, каждая из которых является правильным пятиугольником. Площадь полной поверхности правильного додекаэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{15 a^2}{\text{tg } 36^\circ}$

Приравниваем заданную площадь к формуле:

$\frac{15 a^2}{\text{tg } 36^\circ} = \frac{135}{\text{tg } 36^\circ}$

Умножим обе части уравнения на $\text{tg } 36^\circ$ (поскольку $\text{tg } 36^\circ \neq 0$):

$15 a^2 = 135$

Разделим обе части на 15:

$a^2 = \frac{135}{15}$

$a^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку длина ребра не может быть отрицательной, берем только положительное значение:

$a = \sqrt{9}$

$a = 3 \text{ см}$

Ответ:

3 см

б) Найдите длину ребра правильного икосаэдра, площадь полной поверхности которого равна $ 80\sqrt{3} \text{ см}^2 $.

Дано:

Площадь полной поверхности правильного икосаэдра $S = 80\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Перевод в СИ: (Не требуется, так как исходные единицы измерения (см, см$^2$) являются стандартными для геометрических задач и не требуют преобразования в метры или м$^2$ для получения корректного ответа в заданной системе измерений.)

Найти: Длину ребра икосаэдра $a$.

Решение:

Правильный икосаэдр имеет 20 граней, каждая из которых является правильным (равносторонним) треугольником. Площадь полной поверхности правильного икосаэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$S = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

$S = 5\sqrt{3} a^2$

Приравниваем заданную площадь к формуле:

$5\sqrt{3} a^2 = 80\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{3} \neq 0$):

$5 a^2 = 80$

Разделим обе части на 5:

$a^2 = \frac{80}{5}$

$a^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку длина ребра не может быть отрицательной, берем только положительное значение:

$a = \sqrt{16}$

$a = 4 \text{ см}$

Ответ:

4 см

148. Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра $PABC$, если расстояние между его ребрами $AP$ и $BC$ равно 1 м.

Дано:

Правильный тетраэдр $PABC$.

Расстояние между ребрами $AP$ и $BC$ равно $d = 1 \text{ м}$.

Перевод в СИ:

Расстояние $d = 1 \text{ м}$ (уже в системе СИ).

Найти:

Площадь полной поверхности правильного тетраэдра $S_{\text{полн}}$.

Решение:

Пусть $a$ – длина ребра правильного тетраэдра.

Правильный тетраэдр состоит из четырех одинаковых равносторонних треугольников. Площадь одного равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $S_{\text{грани}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь полной поверхности тетраэдра $S_{\text{полн}} = 4 \cdot S_{\text{грани}} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$.

Найдем зависимость между длиной ребра $a$ и расстоянием $d$ между скрещивающимися ребрами $AP$ и $BC$. В правильном тетраэдре расстояние между любыми двумя скрещивающимися ребрами одинаково.

Рассмотрим ребра $AP$ и $BC$. Пусть $M$ – середина ребра $BC$.

Так как треугольники $ABC$ и $PBC$ являются равносторонними, то медианы $AM$ и $PM$ также являются высотами, то есть $AM \perp BC$ и $PM \perp BC$.

Следовательно, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости, содержащей точки $A$, $P$ и $M$ (плоскости $APM$).

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми $AP$ и $BC$ – это длина их общего перпендикуляра. Поскольку $BC \perp \text{плоскости } APM$, то любой отрезок, лежащий в плоскости $APM$ и перпендикулярный $AP$, будет перпендикулярен и $BC$. Таким образом, общий перпендикуляр между $AP$ и $BC$ – это высота $MH$, опущенная из вершины $M$ на ребро $AP$ в треугольнике $APM$.

В треугольнике $APM$:

Длина $AP = a$ (ребро тетраэдра).

Длины $AM = PM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (высота равностороннего треугольника со стороной $a$).

Треугольник $APM$ – равнобедренный с основанием $AP$ (для высоты из $M$).

Найдем косинус угла $\angle PAM$ в $\triangle APM$ по теореме косинусов:

$PM^2 = AP^2 + AM^2 - 2 \cdot AP \cdot AM \cdot \cos(\angle PAM)$

$\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = a^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle PAM)$

$\frac{3a^2}{4} = a^2 + \frac{3a^2}{4} - a^2\sqrt{3} \cos(\angle PAM)$

$0 = a^2 - a^2\sqrt{3} \cos(\angle PAM)$

$a^2\sqrt{3} \cos(\angle PAM) = a^2$

$\cos(\angle PAM) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем синус этого угла:

$\sin^2(\angle PAM) = 1 - \cos^2(\angle PAM) = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\sin(\angle PAM) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Высота $MH$ в прямоугольном треугольнике, образованном $A$, $H$ и $M$ (где $H$ – основание перпендикуляра из $M$ на $AP$), равна $d = AM \cdot \sin(\angle PAM)$.

$d = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{18}}{6} = \frac{a \cdot 3\sqrt{2}}{6} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, расстояние между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра равно $d = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По условию задачи $d = 1 \text{ м}$.

$1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \text{ м}$.

Теперь найдем площадь полной поверхности тетраэдра:

$S_{\text{полн}} = a^2\sqrt{3} = (\sqrt{2})^2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Ответ: $2\sqrt{3} \text{ м}^2$.

149. Центры граней правильного тетраэдра являются вершинами нового тетраэдра (рисунок 89, а).

Найдите отношение площадей полных поверхностей этих тетраэдров.

а)

Дано:

Исходный правильный тетраэдр $T_1$.

Новый тетраэдр $T_2$, вершины которого являются центрами граней тетраэдра $T_1$.

Найти:

Отношение площадей полных поверхностей этих тетраэдров $S_{T_1} / S_{T_2}$.

Решение:

1. Площадь поверхности исходного тетраэдра.
Пусть $a_1$ - длина ребра исходного правильного тетраэдра $T_1$.

Правильный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольных граней. Площадь одной грани $A_{грани}$ определяется формулой: $A_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2$.

Полная площадь поверхности тетраэдра $T_1$ равна сумме площадей всех четырех граней:
$S_{T_1} = 4 \times A_{грани} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2 = \sqrt{3} a_1^2$.

2. Длина ребра нового тетраэдра.
Вершины нового тетраэдра $T_2$ являются центрами граней тетраэдра $T_1$. Новый тетраэдр также является правильным.

Длина ребра нового тетраэдра $a_2$ - это расстояние между центрами двух смежных граней исходного тетраэдра $T_1$.

Рассмотрим две смежные грани тетраэдра $T_1$. Они имеют общее ребро. Пусть $M$ - середина этого общего ребра.

Для равностороннего треугольника со стороной $a_1$:
Высота грани (медиана) $h_f = \frac{\sqrt{3}}{2} a_1$.

Центр грани (центроид) делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, расстояние от центра грани до середины ребра этой грани равно $r = \frac{1}{3} h_f = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} a_1 = \frac{\sqrt{3}}{6} a_1$.

Пусть $C_1$ и $C_2$ - центры двух смежных граней. Треугольник $C_1MC_2$ является равнобедренным, где $C_1M = C_2M = r$.

Угол между двумя смежными гранями правильного тетраэдра (двугранный угол) $\theta$ равен $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$. То есть, $\cos\theta = \frac{1}{3}$.

По теореме косинусов для треугольника $C_1MC_2$, длина ребра нового тетраэдра $a_2$ находится как:
$a_2^2 = (C_1M)^2 + (C_2M)^2 - 2(C_1M)(C_2M)\cos\theta$
$a_2^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos\theta$
$a_2^2 = 2r^2(1 - \cos\theta)$

Подставим значения $r = \frac{\sqrt{3}}{6} a_1$ и $\cos\theta = \frac{1}{3}$:
$a_2^2 = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{6} a_1\right)^2 \left(1 - \frac{1}{3}\right)$
$a_2^2 = 2 \left(\frac{3}{36} a_1^2\right) \left(\frac{2}{3}\right)$
$a_2^2 = 2 \left(\frac{1}{12} a_1^2\right) \left(\frac{2}{3}\right)$
$a_2^2 = \frac{4}{36} a_1^2 = \frac{1}{9} a_1^2$.

Следовательно, длина ребра нового тетраэдра $a_2 = \sqrt{\frac{1}{9} a_1^2} = \frac{1}{3} a_1$.

3. Отношение площадей поверхностей.
Полная площадь поверхности нового тетраэдра $T_2$ с ребром $a_2 = \frac{1}{3} a_1$ равна:
$S_{T_2} = \sqrt{3} a_2^2 = \sqrt{3} \left(\frac{1}{3} a_1\right)^2 = \sqrt{3} \frac{1}{9} a_1^2 = \frac{\sqrt{3}}{9} a_1^2$.

Отношение площадей полных поверхностей тетраэдров $T_1$ и $T_2$ составляет:
$\frac{S_{T_1}}{S_{T_2}} = \frac{\sqrt{3} a_1^2}{\frac{\sqrt{3}}{9} a_1^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$.

Ответ: $9$

150. Найдите площадь полной поверхности многогранника, изображенного внутри куба на рисунке 89, б, если его вершины являются центрами граней куба, а ребро куба равно 4 дм.

б)

Рисунок 89

Дано:

Ребро куба: $a_{\text{куба}} = 4$ дм

Вершины многогранника являются центрами граней куба.

Многогранник является правильным октаэдром.

Перевод в СИ:

$a_{\text{куба}} = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности многогранника: $S_{\text{октаэдра}}$

Решение:

Многогранник, вершины которого являются центрами граней куба, представляет собой правильный октаэдр. У правильного октаэдра 8 граней, каждая из которых является равносторонним треугольником.

Найдем длину ребра октаэдра ($a_{\text{октаэдра}}$). Представим куб с центром в начале координат. Если ребро куба равно $a_{\text{куба}}$, то координаты центров граней будут вида $(\pm a_{\text{куба}}/2, 0, 0)$, $(0, \pm a_{\text{куба}}/2, 0)$ и $(0, 0, \pm a_{\text{куба}}/2)$.

Например, две смежные вершины октаэдра могут быть центрами нижней и передней граней куба. Их координаты будут, соответственно, $(0, 0, -a_{\text{куба}}/2)$ и $(0, a_{\text{куба}}/2, 0)$ (или другие комбинации, если центр куба не в начале координат, но принципиально расстояние между центрами двух смежных граней будет одинаковым). Возьмем две вершины $V_1 = (a_{\text{куба}}/2, 0, 0)$ и $V_2 = (0, a_{\text{куба}}/2, 0)$.

Длина ребра октаэдра $a_{\text{октаэдра}}$ вычисляется как расстояние между этими точками:

$a_{\text{октаэдра}} = \sqrt{\left(\frac{a_{\text{куба}}}{2} - 0\right)^2 + \left(0 - \frac{a_{\text{куба}}}{2}\right)^2 + (0 - 0)^2}$

$a_{\text{октаэдра}} = \sqrt{\left(\frac{a_{\text{куба}}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a_{\text{куба}}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a_{\text{куба}}^2}{4} + \frac{a_{\text{куба}}^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a_{\text{куба}}^2}{4}} = \sqrt{\frac{a_{\text{куба}}^2}{2}}$

$a_{\text{октаэдра}} = \frac{a_{\text{куба}}}{\sqrt{2}}$

Подставим значение $a_{\text{куба}} = 4$ дм:

$a_{\text{октаэдра}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ дм

Площадь одной грани октаэдра (равностороннего треугольника со стороной $a_{\text{октаэдра}}$) вычисляется по формуле:

$S_{\text{грани}} = \frac{a_{\text{октаэдра}}^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a_{\text{октаэдра}} = 2\sqrt{2}$ дм:

$S_{\text{грани}} = \frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \times 2)\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ дм$^2$

Площадь полной поверхности октаэдра состоит из 8 таких граней:

$S_{\text{октаэдра}} = 8 \times S_{\text{грани}}$

$S_{\text{октаэдра}} = 8 \times 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ дм$^2$

Ответ:

$16\sqrt{3}$ дм$^2$