Номер 145, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

145.

а) Является ли правильным тетраэдром правильная треугольная пирамида, площадь основания которой равна $\sqrt{3}$ дм$^2$, а ее апофема равна $\sqrt{3}$ дм?

б) Дана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна $\sqrt{1,5}$ дм. Какую длину должна иметь ее высота, чтобы эта пирамида была правильным тетраэдром?

a)

Дано:

Правильная треугольная пирамида.
Площадь основания $S_{осн} = \sqrt{3}$ дм$^2$.
Апофема $l = \sqrt{3}$ дм.

Перевод в СИ:

$S_{осн} = \sqrt{3} \text{ дм}^2 = \sqrt{3} \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = \sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$.
$l = \sqrt{3} \text{ дм} = \sqrt{3} \cdot 10^{-1} \text{ м}$.

Найти:

Является ли данная пирамида правильным тетраэдром?

Решение:

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида, у которой все четыре грани являются равносторонними треугольниками, а следовательно, все шесть ребер равны по длине.

Пусть сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$. Площадь основания $S_{осн}$ для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

По условию $S_{осн} = \sqrt{3}$ дм$^2$. Подставим это значение в формулу:
$\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Разделим обе части на $\sqrt{3}$ (так как $\sqrt{3} \ne 0$):
$1 = \frac{a^2}{4}$
$a^2 = 4$
Так как длина стороны не может быть отрицательной, $a = 2$ дм.

Апофема $l$ правильной треугольной пирамиды - это высота боковой грани. Если пирамида является правильным тетраэдром, то ее боковые грани также являются равносторонними треугольниками со стороной $a$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$l = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим найденное значение $a = 2$ дм:
$l = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм.

Полученное значение апофемы $l = \sqrt{3}$ дм совпадает с апофемой, данной в условии задачи. Поскольку сторона основания равна 2 дм, и апофема соответствует высоте равностороннего треугольника со стороной 2 дм, это означает, что все грани пирамиды являются равносторонними треугольниками со стороной 2 дм. Таким образом, все ребра пирамиды равны 2 дм. Это и является определением правильного тетраэдра.

Ответ: Да, является.

b)

Дано:

Правильная треугольная пирамида.
Сторона основания $a_{осн} = \sqrt{1.5}$ дм.

Перевод в СИ:

$a_{осн} = \sqrt{1.5} \text{ дм} = \sqrt{1.5} \cdot 10^{-1} \text{ м}$.

Найти:

Высота $H$ пирамиды, чтобы она была правильным тетраэдром.

Решение:

Для того чтобы правильная треугольная пирамида была правильным тетраэдром, все ее ребра должны быть равны. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$. Тогда, согласно условию, $a = a_{осн} = \sqrt{1.5}$ дм.

Высота $H$ правильной треугольной пирамиды опускается в центр основания (центроид равностороннего треугольника). Боковое ребро $L$ пирамиды (в данном случае $L=a$) образует прямоугольный треугольник с высотой $H$ и радиусом $R$ описанной окружности вокруг основания.

Радиус $R$ описанной окружности вокруг равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, радиусом $R$ и боковым ребром $a$:
$H^2 + R^2 = a^2$.

Выразим $H^2$:
$H^2 = a^2 - R^2$.

Подставим выражение для $R$:
$H^2 = a^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2$
$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{3}$
$H^2 = \frac{3a^2 - a^2}{3}$
$H^2 = \frac{2a^2}{3}$.

Теперь найдем $H$, взяв квадратный корень:
$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} = a\frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = a\frac{\sqrt{6}}{3}$.

По условию сторона основания $a = \sqrt{1.5}$ дм. Преобразуем $\sqrt{1.5}$:
$\sqrt{1.5} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.

Подставим это значение $a$ в формулу для $H$:
$H = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$
$H = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3}$
$H = \frac{(\sqrt{3})^2}{3}$
$H = \frac{3}{3}$
$H = 1$ дм.

Ответ: Высота должна быть $1$ дм.