Номер 149, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

149. Центры граней правильного тетраэдра являются вершинами нового тетраэдра (рисунок 89, а).

Найдите отношение площадей полных поверхностей этих тетраэдров.

а)

Дано:

Исходный правильный тетраэдр $T_1$.

Новый тетраэдр $T_2$, вершины которого являются центрами граней тетраэдра $T_1$.

Найти:

Отношение площадей полных поверхностей этих тетраэдров $S_{T_1} / S_{T_2}$.

Решение:

1. Площадь поверхности исходного тетраэдра.
Пусть $a_1$ - длина ребра исходного правильного тетраэдра $T_1$.

Правильный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольных граней. Площадь одной грани $A_{грани}$ определяется формулой: $A_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2$.

Полная площадь поверхности тетраэдра $T_1$ равна сумме площадей всех четырех граней:
$S_{T_1} = 4 \times A_{грани} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2 = \sqrt{3} a_1^2$.

2. Длина ребра нового тетраэдра.
Вершины нового тетраэдра $T_2$ являются центрами граней тетраэдра $T_1$. Новый тетраэдр также является правильным.

Длина ребра нового тетраэдра $a_2$ - это расстояние между центрами двух смежных граней исходного тетраэдра $T_1$.

Рассмотрим две смежные грани тетраэдра $T_1$. Они имеют общее ребро. Пусть $M$ - середина этого общего ребра.

Для равностороннего треугольника со стороной $a_1$:
Высота грани (медиана) $h_f = \frac{\sqrt{3}}{2} a_1$.

Центр грани (центроид) делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, расстояние от центра грани до середины ребра этой грани равно $r = \frac{1}{3} h_f = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} a_1 = \frac{\sqrt{3}}{6} a_1$.

Пусть $C_1$ и $C_2$ - центры двух смежных граней. Треугольник $C_1MC_2$ является равнобедренным, где $C_1M = C_2M = r$.

Угол между двумя смежными гранями правильного тетраэдра (двугранный угол) $\theta$ равен $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$. То есть, $\cos\theta = \frac{1}{3}$.

По теореме косинусов для треугольника $C_1MC_2$, длина ребра нового тетраэдра $a_2$ находится как:
$a_2^2 = (C_1M)^2 + (C_2M)^2 - 2(C_1M)(C_2M)\cos\theta$
$a_2^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos\theta$
$a_2^2 = 2r^2(1 - \cos\theta)$

Подставим значения $r = \frac{\sqrt{3}}{6} a_1$ и $\cos\theta = \frac{1}{3}$:
$a_2^2 = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{6} a_1\right)^2 \left(1 - \frac{1}{3}\right)$
$a_2^2 = 2 \left(\frac{3}{36} a_1^2\right) \left(\frac{2}{3}\right)$
$a_2^2 = 2 \left(\frac{1}{12} a_1^2\right) \left(\frac{2}{3}\right)$
$a_2^2 = \frac{4}{36} a_1^2 = \frac{1}{9} a_1^2$.

Следовательно, длина ребра нового тетраэдра $a_2 = \sqrt{\frac{1}{9} a_1^2} = \frac{1}{3} a_1$.

3. Отношение площадей поверхностей.
Полная площадь поверхности нового тетраэдра $T_2$ с ребром $a_2 = \frac{1}{3} a_1$ равна:
$S_{T_2} = \sqrt{3} a_2^2 = \sqrt{3} \left(\frac{1}{3} a_1\right)^2 = \sqrt{3} \frac{1}{9} a_1^2 = \frac{\sqrt{3}}{9} a_1^2$.

Отношение площадей полных поверхностей тетраэдров $T_1$ и $T_2$ составляет:
$\frac{S_{T_1}}{S_{T_2}} = \frac{\sqrt{3} a_1^2}{\frac{\sqrt{3}}{9} a_1^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$.

Ответ: $9$