Номер 150, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

150. Найдите площадь полной поверхности многогранника, изображенного внутри куба на рисунке 89, б, если его вершины являются центрами граней куба, а ребро куба равно 4 дм.

б)

Рисунок 89

Дано:

Ребро куба: $a_{\text{куба}} = 4$ дм

Вершины многогранника являются центрами граней куба.

Многогранник является правильным октаэдром.

Перевод в СИ:

$a_{\text{куба}} = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности многогранника: $S_{\text{октаэдра}}$

Решение:

Многогранник, вершины которого являются центрами граней куба, представляет собой правильный октаэдр. У правильного октаэдра 8 граней, каждая из которых является равносторонним треугольником.

Найдем длину ребра октаэдра ($a_{\text{октаэдра}}$). Представим куб с центром в начале координат. Если ребро куба равно $a_{\text{куба}}$, то координаты центров граней будут вида $(\pm a_{\text{куба}}/2, 0, 0)$, $(0, \pm a_{\text{куба}}/2, 0)$ и $(0, 0, \pm a_{\text{куба}}/2)$.

Например, две смежные вершины октаэдра могут быть центрами нижней и передней граней куба. Их координаты будут, соответственно, $(0, 0, -a_{\text{куба}}/2)$ и $(0, a_{\text{куба}}/2, 0)$ (или другие комбинации, если центр куба не в начале координат, но принципиально расстояние между центрами двух смежных граней будет одинаковым). Возьмем две вершины $V_1 = (a_{\text{куба}}/2, 0, 0)$ и $V_2 = (0, a_{\text{куба}}/2, 0)$.

Длина ребра октаэдра $a_{\text{октаэдра}}$ вычисляется как расстояние между этими точками:

$a_{\text{октаэдра}} = \sqrt{\left(\frac{a_{\text{куба}}}{2} - 0\right)^2 + \left(0 - \frac{a_{\text{куба}}}{2}\right)^2 + (0 - 0)^2}$

$a_{\text{октаэдра}} = \sqrt{\left(\frac{a_{\text{куба}}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a_{\text{куба}}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a_{\text{куба}}^2}{4} + \frac{a_{\text{куба}}^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a_{\text{куба}}^2}{4}} = \sqrt{\frac{a_{\text{куба}}^2}{2}}$

$a_{\text{октаэдра}} = \frac{a_{\text{куба}}}{\sqrt{2}}$

Подставим значение $a_{\text{куба}} = 4$ дм:

$a_{\text{октаэдра}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ дм

Площадь одной грани октаэдра (равностороннего треугольника со стороной $a_{\text{октаэдра}}$) вычисляется по формуле:

$S_{\text{грани}} = \frac{a_{\text{октаэдра}}^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a_{\text{октаэдра}} = 2\sqrt{2}$ дм:

$S_{\text{грани}} = \frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \times 2)\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ дм$^2$

Площадь полной поверхности октаэдра состоит из 8 таких граней:

$S_{\text{октаэдра}} = 8 \times S_{\text{грани}}$

$S_{\text{октаэдра}} = 8 \times 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ дм$^2$

Ответ:

$16\sqrt{3}$ дм$^2$