Номер 156, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

156. Существует ли невыпуклый многогранник, все грани которого – равные правильные многоугольники? Если существует, то изготовьте его модель.

Решение

Да, такие невыпуклые многогранники существуют. Они относятся к классу звездчатых многогранников, в частности, к четырем невыпуклым правильным многогранникам, известным как тела Кеплера-Пуансо. Среди них два многогранника полностью соответствуют описанию:

• Большой додекаэдр (Great Dodecahedron)

• Большой икосаэдр (Great Icosahedron)

Рассмотрим их подробнее:

Большой додекаэдр

Этот многогранник является невыпуклым. Все его грани – это 12 равных правильных пятиугольников. В каждой вершине сходятся 5 таких пятиугольников. Его можно представить как додекаэдр, грани которого продлены до пересечения, образуя звездчатую структуру.

Большой икосаэдр

Этот многогранник также является невыпуклым. Все его грани – это 20 равных правильных треугольников. В каждой вершине сходятся 5 таких треугольников. Его можно получить из икосаэдра путем звездчатого расширения.

Для изготовления модели любого из этих многогранников потребуется:

• Материалы: Картон, плотная бумага или пластик для граней, клей или скотч для соединения.

• Развертка: Необходимо найти или построить развертку соответствующего многогранника. Для большого додекаэдра это будет 12 пятиугольников, соединенных определенным образом, а для большого икосаэдра – 20 треугольников. Важно учесть, что эти многогранники являются самопересекающимися, поэтому при сборке модели их грани будут проникать друг в друга, создавая характерный "звездчатый" вид.

• Процесс сборки:

  1. Распечатать или начертить развертку на выбранном материале.

  2. Аккуратно вырезать все грани и клапаны для склеивания.

  3. Сделать сгибы по всем ребрам.

  4. Собрать многогранник, склеивая грани по клапанам. Из-за невыпуклости и самопересечения граней процесс может быть сложнее, чем для выпуклых многогранников. Иногда требуется внутренняя структура для поддержания формы.

Ответ: Да, такие многогранники существуют. Примерами являются Большой додекаэдр и Большой икосаэдр.