Номер 161, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

a) Угол между диагональю боковой грани правильной треугольной призмы и другой ее боковой гранью равен $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности этой призмы, если ее высота равна 2 дм.

б) Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 8 см и наклонена к основанию под углом $75^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

a)

Дано:

Правильная треугольная призма.Угол между диагональю боковой грани и другой ее боковой гранью $\alpha = 30^\circ$.Высота призмы $h = 2$ дм.

Перевод в СИ:

$h = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$.

Найти:

Площадь полной поверхности $S_{полн}$.

Решение:

Пусть $a$ – сторона основания правильной треугольной призмы. Пусть $A, B, C$ – вершины нижнего основания, и $A', B', C'$ – вершины верхнего основания. Высота призмы равна $h = AA'$.Рассмотрим диагональ $AB'$ боковой грани $AA'B'B$. Другой боковой гранью, смежной с $AA'B'B$, является, например, $AA'C'C$. Угол между диагональю $AB'$ и плоскостью грани $AA'C'C$ равен $30^\circ$.Для нахождения этого угла проведем перпендикуляр из точки $B'$ к плоскости $AA'C'C$. Так как основание призмы – правильный треугольник, то высота $B'K$ треугольника $A'B'C'$ (где $K$ – середина $A'C'$) перпендикулярна $A'C'$. Также $B'K$ перпендикулярна $AA'$, поскольку $AA'$ перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $B'K$ перпендикулярна плоскости $AA'C'C$.Точка $A$ лежит в плоскости $AA'C'C$. Тогда проекция диагонали $AB'$ на плоскость $AA'C'C$ есть отрезок $AK$.Угол между диагональю $AB'$ и плоскостью $AA'C'C$ есть $\angle B'AK$. По условию $\angle B'AK = 30^\circ$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B'KA$ с прямым углом при вершине $K$.Длина высоты $B'K$ в правильном треугольнике со стороной $a$ равна $B'K = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.Длина отрезка $AK$ может быть найдена из прямоугольного треугольника $\triangle AA'K$. $A'K = \frac{a}{2}$ (так как $K$ – середина $A'C'$).Тогда $AK = \sqrt{AA'^2 + A'K^2} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$.В $\triangle B'KA$:$\tan(\angle B'AK) = \frac{B'K}{AK}$$\tan(30^\circ) = \frac{a \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}}$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}}$$2\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} = 3a$Возведем обе части в квадрат:$4\left(h^2 + \frac{a^2}{4}\right) = (3a)^2$$4h^2 + a^2 = 9a^2$$4h^2 = 8a^2$$h^2 = 2a^2$$h = a\sqrt{2}$ (так как $h>0, a>0$)Из условия $h = 2$ дм, находим $a$:$2 = a\sqrt{2} \implies a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ дм.Площадь полной поверхности призмы $S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок}$.Площадь основания $S_{осн}$ правильного треугольника со стороной $a$:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ дм$^2$.Периметр основания $P_{осн} = 3a = 3\sqrt{2}$ дм.Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 3\sqrt{2} \cdot 2 = 6\sqrt{2}$ дм$^2$.Таким образом, площадь полной поверхности:$S_{полн} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6\sqrt{2} = \sqrt{3} + 6\sqrt{2}$ дм$^2$.

Ответ: $\sqrt{3} + 6\sqrt{2}$ дм$^2$.

б)

Дано:

Правильная четырехугольная призма.Диагональ призмы $D = 8$ см.Угол наклона диагонали к основанию $\beta = 75^\circ$.

Перевод в СИ:

$D = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение:

Пусть $a$ – сторона квадратного основания правильной четырехугольной призмы, и $h$ – ее высота.Диагональ призмы $D$ образует с плоскостью основания угол $\beta$.Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы $D$, ее высотой $h$ и диагональю основания $d_{осн}$.Из этого треугольника:$h = D \sin(\beta)$$d_{осн} = D \cos(\beta)$Подставим данные значения: $D = 8$ см, $\beta = 75^\circ$.$h = 8 \sin(75^\circ)$$d_{осн} = 8 \cos(75^\circ)$Используем значения синуса и косинуса $75^\circ$:$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.Высота призмы $h$:$h = 8 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = 2(\sqrt{6}+\sqrt{2})$ см.Диагональ основания $d_{осн}$:$d_{осн} = 8 \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = 2(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ см.Основанием правильной четырехугольной призмы является квадрат со стороной $a$. Диагональ квадрата $d_{осн} = a\sqrt{2}$.Отсюда найдем сторону основания $a$:$a = \frac{d_{осн}}{\sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}} = 2(\sqrt{3}-1)$ см.Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.Периметр основания $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 2(\sqrt{3}-1) = 8(\sqrt{3}-1)$ см.Теперь вычислим $S_{бок}$:$S_{бок} = 8(\sqrt{3}-1) \cdot 2(\sqrt{6}+\sqrt{2})$$S_{бок} = 16(\sqrt{3}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})$Раскроем скобки:$S_{бок} = 16(\sqrt{3}\sqrt{6} + \sqrt{3}\sqrt{2} - 1\sqrt{6} - 1\sqrt{2})$$S_{бок} = 16(\sqrt{18} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2})$$S_{бок} = 16(3\sqrt{2} - \sqrt{2})$$S_{бок} = 16(2\sqrt{2})$$S_{бок} = 32\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $32\sqrt{2}$ см$^2$.