Номер 167, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

167. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, высоты оснований которой равны $18\sqrt{3}$ см и $12\sqrt{3}$ см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $60^{\circ}$.

Дано:

Правильная треугольная усеченная пирамида.

Высота большего основания $h_1 = 18\sqrt{3}$ см.

Высота меньшего основания $h_2 = 12\sqrt{3}$ см.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$h_1 = 18\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

$h_2 = 12\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды находится по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_а$, где $P_1$ и $P_2$ - периметры оснований, $h_а$ - апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды.

1. Найдем стороны оснований $a_1$ и $a_2$. Для правильного треугольника высота $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$a_1 = \frac{2h_1}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 18\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 36$ см.

$a_2 = \frac{2h_2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 24$ см.

2. Найдем периметры оснований $P_1$ и $P_2$.

$P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 36 = 108$ см.

$P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 24 = 72$ см.

3. Найдем высоту $H$ усеченной пирамиды. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен $60^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $L$ и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Проекция бокового ребра на плоскость основания равна разности радиусов описанных окружностей вокруг оснований $R_1 - R_2$. Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$R_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}$ см.

$R_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ см.

Проекция бокового ребра $k = R_1 - R_2 = 12\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника, образованного $H$, $L$ и $k$, с углом $60^\circ$ между $L$ и $k$: $k = L \cos 60^\circ$.

Найдем боковое ребро $L$: $L = \frac{k}{\cos 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{1/2} = 8\sqrt{3}$ см.

Тогда высота пирамиды $H = L \sin 60^\circ = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

4. Найдем апофему боковой грани $h_а$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой боковой грани $h_а$ и проекцией апофемы боковой грани на плоскость основания. Проекция апофемы боковой грани на плоскость основания равна разности радиусов вписанных окружностей в основания $r_1 - r_2$. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{36}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ см.

$r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{24}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Проекция апофемы боковой грани на плоскость основания $p = r_1 - r_2 = 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника: $h_а^2 = H^2 + p^2$.

$h_а^2 = (12)^2 + (2\sqrt{3})^2 = 144 + (4 \cdot 3) = 144 + 12 = 156$.

$h_а = \sqrt{156} = \sqrt{4 \cdot 39} = 2\sqrt{39}$ см.

5. Вычислим площадь боковой поверхности.

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_а = \frac{1}{2}(108 + 72) \cdot 2\sqrt{39}$.

$S_{бок} = \frac{1}{2}(180) \cdot 2\sqrt{39} = 90 \cdot 2\sqrt{39} = 180\sqrt{39}$ см$^2$.

В системе СИ: $S_{бок} = 180\sqrt{39} \cdot (10^{-2})^2$ м$^2 = 180\sqrt{39} \cdot 10^{-4}$ м$^2 = 0.018\sqrt{39}$ м$^2$.

Ответ:

$180\sqrt{39}$ см$^2$ или $0.018\sqrt{39}$ м$^2$.