Номер 173, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

173. Дана правильная четырехугольная усеченная пирамида. Найдите площадь ее боковой поверхности, если:

а) диагонали ее оснований равны $d$ и $l$ $(d > l)$, а двугранный угол при ребре основания – $60^\circ$;

б) ее высота равна $h$, площадь диагонального сечения – $Q$, а острый двугранный угол при стороне основания – $\beta$.

Дано:

Правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Найти: $S_{бок}$

Решение

а) диагонали ее оснований равны $d$ и $l$ ($d > l$), а двугранный угол при ребре основания – $60^\circ$

Пусть $a_1$ и $a_2$ – длины сторон большого и малого оснований соответственно. Так как основания являются квадратами, их диагонали связаны со сторонами соотношениями: $d = a_1\sqrt{2}$ и $l = a_2\sqrt{2}$.

Отсюда, $a_1 = \frac{d}{\sqrt{2}}$ и $a_2 = \frac{l}{\sqrt{2}}$.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна полусумме периметров оснований, умноженной на апофему $h_a$: $S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} h_a = \frac{4a_1 + 4a_2}{2} h_a = 2(a_1+a_2)h_a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $h_a$, высотой усеченной пирамиды $H$ и проекцией апофемы на основание. Проекция апофемы на основание равна половине разности сторон оснований: $x = \frac{a_1 - a_2}{2}$.

Двугранный угол при ребре основания равен $60^\circ$, что является углом между апофемой и её проекцией на основание. Таким образом, $\cos 60^\circ = \frac{x}{h_a}$.

Из этого соотношения выразим апофему $h_a = \frac{x}{\cos 60^\circ}$.

Подставим значения $a_1$ и $a_2$: $x = \frac{1}{2}\left(\frac{d}{\sqrt{2}} - \frac{l}{\sqrt{2}}\right) = \frac{d-l}{2\sqrt{2}}$.

Тогда $h_a = \frac{\frac{d-l}{2\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{d-l}{\sqrt{2}}$.

Теперь подставим $a_1$, $a_2$ и $h_a$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2\left(\frac{d}{\sqrt{2}} + \frac{l}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{d-l}{\sqrt{2}}\right)$

$S_{бок} = 2\left(\frac{d+l}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{d-l}{\sqrt{2}}\right)$

$S_{бок} = 2\frac{(d+l)(d-l)}{2}$

$S_{бок} = (d+l)(d-l)$

$S_{бок} = d^2 - l^2$.

Ответ: $d^2 - l^2$

б) ее высота равна $h$, площадь диагонального сечения – $Q$, а острый двугранный угол при стороне основания – $\beta$

Пусть $a_1$ и $a_2$ – длины сторон большого и малого оснований соответственно. Высота пирамиды $H = h$.

Диагональное сечение правильной четырехугольной усеченной пирамиды представляет собой равнобокую трапецию. Ее основаниями являются диагонали оснований пирамиды: $d_1 = a_1\sqrt{2}$ и $d_2 = a_2\sqrt{2}$. Высота этой трапеции равна высоте пирамиды $H = h$.

Площадь диагонального сечения $Q = \frac{d_1 + d_2}{2} H = \frac{a_1\sqrt{2} + a_2\sqrt{2}}{2} h$.

$Q = \frac{\sqrt{2}(a_1+a_2)}{2} h = \frac{a_1+a_2}{\sqrt{2}} h$.

Выразим сумму сторон оснований: $a_1+a_2 = \frac{Q\sqrt{2}}{h}$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2(a_1+a_2)h_a$, где $h_a$ – апофема боковой грани.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и проекцией апофемы на основание $x = \frac{a_1 - a_2}{2}$. Острый двугранный угол при стороне основания $\beta$ – это угол между апофемой и её проекцией на основание.

В этом треугольнике $H = h_a \sin \beta$.

Отсюда, апофема $h_a = \frac{H}{\sin \beta} = \frac{h}{\sin \beta}$.

Теперь подставим выражения для $(a_1+a_2)$ и $h_a$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2 \left(\frac{Q\sqrt{2}}{h}\right) \left(\frac{h}{\sin \beta}\right)$

$S_{бок} = \frac{2Q\sqrt{2}}{\sin \beta}$.

Ответ: $\frac{2Q\sqrt{2}}{\sin \beta}$