Номер 177, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

177. Основанием треугольной пирамиды $SABC$ является прямоугольный $\Delta ABC$ с гипотенузой $AC$, а ее боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину $M$ ребра $AB$, перпендикулярно ребру $SC$, $AB = BC = SA = m$ (рисунок 93). Найдите площадь этого сечения.

Рисунок 93

Дано:

Треугольная пирамида $SABC$.

Основание $\triangle ABC$ - прямоугольный, гипотенуза $AC$.

Боковое ребро $SA \perp$ плоскости основания $ABC$.

Сечение плоскостью, проходящей через середину $M$ ребра $AB$.

Плоскость сечения перпендикулярна ребру $SC$.

$AB = BC = SA = m$.

Перевод в СИ:

Все размеры даны в виде символа $m$, который можно считать единицей длины, поэтому дополнительный перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем систему координат. Пусть вершина $B$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку $\triangle ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AC$ и $AB=BC=m$, прямой угол находится при вершине $B$.

Тогда координаты вершин основания будут:

• $B = (0,0,0)$
• $A = (m,0,0)$ (поскольку $AB=m$ и $AB \perp BC$)
• $C = (0,m,0)$ (поскольку $BC=m$ и $AB \perp BC$)

Так как $SA \perp$ плоскости основания $ABC$ и $SA=m$, вершина $S$ находится над $A$:

• $S = (m,0,m)$

Середина $M$ ребра $AB$ имеет координаты:

• $M = (m/2, 0, 0)$

Найдем вектор $\vec{SC}$: $C - S = (0,m,0) - (m,0,m) = (-m, m, -m)$.

Плоскость сечения $\Pi$ перпендикулярна ребру $SC$. Это означает, что вектор $\vec{SC}$ является нормальным вектором к плоскости $\Pi$. Мы можем взять нормальный вектор $\vec{n} = (-1, 1, -1)$ (пропорциональный $\vec{SC}$).

Уравнение плоскости $\Pi$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим $\vec{n}$: $-x + y - z + D = 0$.

Плоскость проходит через точку $M(m/2, 0, 0)$. Подставим координаты $M$ в уравнение плоскости:

$-(m/2) + 0 - 0 + D = 0 \Rightarrow D = m/2$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения $\Pi$: $-x + y - z + m/2 = 0$, или $x - y + z - m/2 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения плоскости $\Pi$ с ребрами пирамиды:

1. Ребро $AB$: (ось $x$, от $B(0,0,0)$ до $A(m,0,0)$)

   Для точек на $AB$, $y=0, z=0$.

   $x - 0 + 0 - m/2 = 0 \Rightarrow x = m/2$.

   Это точка $M(m/2, 0, 0)$, что соответствует условию.

2. Ребро $BC$: (ось $y$, от $B(0,0,0)$ до $C(0,m,0)$)

   Для точек на $BC$, $x=0, z=0$.

   $0 - y + 0 - m/2 = 0 \Rightarrow y = -m/2$.

   Так как $y$ должен быть в диапазоне $[0, m]$, точка $(0, -m/2, 0)$ не лежит на отрезке $BC$. Сечение не пересекает ребро $BC$.

3. Ребро $AC$: (от $A(m,0,0)$ до $C(0,m,0)$)

   Вектор $\vec{AC} = C - A = (-m, m, 0)$.

   Параметрическое уравнение прямой $AC$: $P(t) = A + t \vec{AC} = (m,0,0) + t(-m,m,0) = (m-tm, tm, 0)$.

   Подставим в уравнение плоскости $x - y + z - m/2 = 0$:

   $(m-tm) - tm + 0 - m/2 = 0$

   $m - 2tm - m/2 = 0$

   $m/2 - 2tm = 0$

   $2tm = m/2 \Rightarrow t = 1/4$.

   При $t=1/4$, точка $N = (m - m/4, m/4, 0) = (3m/4, m/4, 0)$.

   Эта точка лежит на отрезке $AC$ (так как $0 \le t \le 1$). Это вторая вершина сечения.

4. Ребро $SA$: (от $A(m,0,0)$ до $S(m,0,m)$)

   Для точек на $SA$, $x=m, y=0$.

   $m - 0 + z - m/2 = 0 \Rightarrow z + m/2 = 0 \Rightarrow z = -m/2$.

   Так как $z$ должен быть в диапазоне $[0, m]$, точка $(m, 0, -m/2)$ не лежит на отрезке $SA$. Сечение не пересекает ребро $SA$.

5. Ребро $SB$: (от $B(0,0,0)$ до $S(m,0,m)$)

   Вектор $\vec{SB} = S - B = (m, 0, m)$.

   Параметрическое уравнение прямой $SB$: $P(t) = B + t \vec{SB} = (tm, 0, tm)$.

   Подставим в уравнение плоскости $x - y + z - m/2 = 0$:

   $tm - 0 + tm - m/2 = 0$

   $2tm - m/2 = 0$

   $2tm = m/2 \Rightarrow t = 1/4$.

   При $t=1/4$, точка $(m/4, 0, m/4)$. Эта точка лежит на отрезке $SB$ (так как $0 \le t \le 1$). Обозначим ее как $K=(m/4, 0, m/4)$.

   Таким образом, сечение является четырехугольником $MNFK$ или треугольником $MNF$.

6. Ребро $SC$: (от $S(m,0,m)$ до $C(0,m,0)$)

   Вектор $\vec{SC} = C - S = (-m, m, -m)$.

   Параметрическое уравнение прямой $SC$: $P(t) = S + t \vec{SC} = (m,0,m) + t(-m,m,-m) = (m-tm, tm, m-tm)$.

   Подставим в уравнение плоскости $x - y + z - m/2 = 0$:

   $(m-tm) - tm + (m-tm) - m/2 = 0$

   $2m - 3tm - m/2 = 0$

   $3m/2 - 3tm = 0$

   $3tm = 3m/2 \Rightarrow t = 1/2$.

   При $t=1/2$, точка $F = (m-m/2, m/2, m-m/2) = (m/2, m/2, m/2)$.

   Эта точка лежит на отрезке $SC$ (так как $0 \le t \le 1$). Это третья вершина сечения.

Итак, точки пересечения: $M(m/2, 0, 0)$, $N(3m/4, m/4, 0)$ и $F(m/2, m/2, m/2)$. Точка $K(m/4, 0, m/4)$ на ребре $SB$.

Ранее мы искали $M, N, F$. Теперь появилась точка $K$. Это означает, что сечение - это четырехугольник $MNFK$.

Давайте проверим:

Вектор $\vec{MN} = N - M = (3m/4 - m/2, m/4 - 0, 0 - 0) = (m/4, m/4, 0)$.

Вектор $\vec{NK} = K - N = (m/4 - 3m/4, 0 - m/4, m/4 - 0) = (-m/2, -m/4, m/4)$.

Вектор $\vec{KF} = F - K = (m/2 - m/4, m/2 - 0, m/2 - m/4) = (m/4, m/2, m/4)$.

Вектор $\vec{FM} = M - F = (m/2 - m/2, 0 - m/2, 0 - m/2) = (0, -m/2, -m/2)$.

Площадь четырехугольника $MNFK$ можно найти как сумму площадей двух треугольников, например $\triangle MNF$ и $\triangle NKF$.

Нормаль к плоскости $x - y + z - m/2 = 0$ - это $\vec{n}=(1, -1, 1)$.

Координаты вершин:

$M(m/2, 0, 0)$

$N(3m/4, m/4, 0)$

$K(m/4, 0, m/4)$

$F(m/2, m/2, m/2)$

Векторы для $\triangle MNF$:

$\vec{NM} = M - N = (m/2 - 3m/4, 0 - m/4, 0 - 0) = (-m/4, -m/4, 0)$.

$\vec{NF} = F - N = (m/2 - 3m/4, m/2 - m/4, m/2 - 0) = (-m/4, m/4, m/2)$.

Площадь $\triangle MNF = \frac{1}{2} |\vec{NM} \times \vec{NF}|$.

$\vec{NM} \times \vec{NF} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -m/4 & -m/4 & 0 \\ -m/4 & m/4 & m/2 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}( (-m/4)(m/2) - 0 ) - \mathbf{j}( (-m/4)(m/2) - 0 ) + \mathbf{k}( (-m/4)(m/4) - (-m/4)(-m/4) )$

$= \mathbf{i}( -m^2/8 ) - \mathbf{j}( -m^2/8 ) + \mathbf{k}( -m^2/16 - m^2/16 )$

$= (-m^2/8, m^2/8, -m^2/8)$.

Модуль этого вектора: $\sqrt{(-m^2/8)^2 + (m^2/8)^2 + (-m^2/8)^2} = \sqrt{3(m^2/8)^2} = \frac{\sqrt{3}m^2}{8}$.

Площадь $\triangle MNF = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}m^2}{8} = \frac{\sqrt{3}m^2}{16}$.

Векторы для $\triangle NKF$:

$\vec{NK} = K - N = (m/4 - 3m/4, 0 - m/4, m/4 - 0) = (-m/2, -m/4, m/4)$.

$\vec{NF} = F - N = (-m/4, m/4, m/2)$. (уже вычислен)

Площадь $\triangle NKF = \frac{1}{2} |\vec{NK} \times \vec{NF}|$.

$\vec{NK} \times \vec{NF} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -m/2 & -m/4 & m/4 \\ -m/4 & m/4 & m/2 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}( (-m/4)(m/2) - (m/4)(m/4) ) - \mathbf{j}( (-m/2)(m/2) - (m/4)(-m/4) ) + \mathbf{k}( (-m/2)(m/4) - (-m/4)(-m/4) )$

$= \mathbf{i}( -m^2/8 - m^2/16 ) - \mathbf{j}( -m^2/4 + m^2/16 ) + \mathbf{k}( -m^2/8 - m^2/16 )$

$= \mathbf{i}( -3m^2/16 ) - \mathbf{j}( -3m^2/16 ) + \mathbf{k}( -3m^2/16 )$

$= (-3m^2/16, 3m^2/16, -3m^2/16)$.

Модуль этого вектора: $\sqrt{(-3m^2/16)^2 + (3m^2/16)^2 + (-3m^2/16)^2} = \sqrt{3(3m^2/16)^2} = \frac{\sqrt{3} \cdot 3m^2}{16}$.

Площадь $\triangle NKF = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}m^2}{16} = \frac{3\sqrt{3}m^2}{32}$.

Общая площадь сечения $S_{MNFK} = S_{\triangle MNF} + S_{\triangle NKF} = \frac{\sqrt{3}m^2}{16} + \frac{3\sqrt{3}m^2}{32} = \frac{2\sqrt{3}m^2 + 3\sqrt{3}m^2}{32} = \frac{5\sqrt{3}m^2}{32}$.

В данном случае сечение является четырехугольником, так как плоскость пересекает четыре ребра: $AB$, $AC$, $SB$, $SC$.

Проверим тип четырехугольника.

$\vec{MN} = (m/4, m/4, 0)$

$\vec{KF} = (m/4, m/2, m/4)$

$\vec{MK} = K - M = (m/4 - m/2, 0 - 0, m/4 - 0) = (-m/4, 0, m/4)$

$\vec{NF} = (-m/4, m/4, m/2)$

Это не параллелограмм, так как $\vec{MN}$ не параллелен $\vec{KF}$.

Площадь четырехугольника можно также найти с помощью проекции.

Проекция сечения на плоскость $xOy$ (основание $ABC$).

Вершины проекции: $M_p(m/2, 0)$, $N_p(3m/4, m/4)$, $K_p(m/4, 0)$, $F_p(m/2, m/2)$.

Площадь проекции $S_{proj}$ четырехугольника $M_p N_p F_p K_p$ можно найти по формуле shoelace или разбивкой на трапеции/треугольники.

Трапеция с вершинами $(m/4,0), (3m/4,0), (3m/4, m/4), (m/4, m/4)$

Разделим $M_p N_p F_p K_p$ на два треугольника $M_p N_p K_p$ и $K_p N_p F_p$.

$M_p=(m/2,0)$, $N_p=(3m/4,m/4)$, $K_p=(m/4,0)$.

$S_{\triangle M_p N_p K_p} = \frac{1}{2} |x_M(y_N-y_K) + x_N(y_K-y_M) + x_K(y_M-y_N)|$

$= \frac{1}{2} |m/2(m/4-0) + 3m/4(0-0) + m/4(0-m/4)|$

$= \frac{1}{2} |m^2/8 + 0 - m^2/16| = \frac{1}{2} |m^2/16| = m^2/32$.

$K_p=(m/4,0)$, $N_p=(3m/4,m/4)$, $F_p=(m/2,m/2)$.

$S_{\triangle K_p N_p F_p} = \frac{1}{2} |x_K(y_N-y_F) + x_N(y_F-y_K) + x_F(y_K-y_N)|$

$= \frac{1}{2} |m/4(m/4-m/2) + 3m/4(m/2-0) + m/2(0-m/4)|$

$= \frac{1}{2} |m/4(-m/4) + 3m/4(m/2) + m/2(-m/4)|$

$= \frac{1}{2} |-m^2/16 + 3m^2/8 - m^2/8|$

$= \frac{1}{2} |-m^2/16 + 6m^2/16 - 2m^2/16| = \frac{1}{2} |3m^2/16| = 3m^2/32$.

Площадь проекции $S_{proj} = m^2/32 + 3m^2/32 = 4m^2/32 = m^2/8$.

Формула для площади сечения: $S_{сечения} = S_{proj} / \cos \theta$, где $\theta$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью $xOy$.

Вектор нормали к плоскости сечения: $\vec{n} = (1, -1, 1)$.

Вектор нормали к плоскости $xOy$: $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

$\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(1)(0) + (-1)(0) + (1)(1)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$S_{сечения} = (m^2/8) / (1/\sqrt{3}) = m^2\sqrt{3}/8$.

Результаты двух методов не совпали. Давайте перепроверим первый метод (сумма площадей треугольников $MNF$ и $NKF$).

Я разбивал $MNFK$ на $\triangle MNF$ и $\triangle NKF$. Вершины $M, N, K, F$ образуют выпуклый четырехугольник.

$M(m/2, 0, 0)$

$N(3m/4, m/4, 0)$

$F(m/2, m/2, m/2)$

$K(m/4, 0, m/4)$

Стороны:

$MN^2 = (m/4)^2+(m/4)^2+0 = 2m^2/16 = m^2/8 \Rightarrow MN=m\sqrt{2}/4$

$NF^2 = (-m/4)^2+(m/4)^2+(m/2)^2 = m^2/16+m^2/16+m^2/4 = 6m^2/16 = 3m^2/8 \Rightarrow NF=m\sqrt{6}/4$

$FK^2 = (m/4-m/2)^2+(0-m/2)^2+(m/4-m/2)^2 = (-m/4)^2+(-m/2)^2+(-m/4)^2 = m^2/16+m^2/4+m^2/16 = 6m^2/16 = 3m^2/8 \Rightarrow FK=m\sqrt{6}/4$

$KM^2 = (m/2-m/4)^2+(0-0)^2+(0-m/4)^2 = (m/4)^2+0+(-m/4)^2 = 2m^2/16 = m^2/8 \Rightarrow KM=m\sqrt{2}/4$

Диагональ $MF^2 = (m/2-m/2)^2+(m/2-0)^2+(m/2-0)^2 = 0 + m^2/4 + m^2/4 = m^2/2 \Rightarrow MF=m\sqrt{2}/2$

Диагональ $NK^2 = (m/4-3m/4)^2+(0-m/4)^2+(m/4-0)^2 = (-m/2)^2+(-m/4)^2+(m/4)^2 = m^2/4+m^2/16+m^2/16 = 6m^2/16 = 3m^2/8 \Rightarrow NK=m\sqrt{6}/4$

Заметим, что $MN = KM = m\sqrt{2}/4$ и $NF = FK = m\sqrt{6}/4$.

Это означает, что четырехугольник $MNFK$ - дельтоид (Kite) с диагоналями $MF$ и $NK$.

В дельтоиде диагонали перпендикулярны.

Проверим скалярное произведение $\vec{MF} \cdot \vec{NK}$:

$\vec{MF} = (0, m/2, m/2)$

$\vec{NK} = (-m/2, -m/4, m/4)$

$\vec{MF} \cdot \vec{NK} = (0)(-m/2) + (m/2)(-m/4) + (m/2)(m/4) = 0 - m^2/8 + m^2/8 = 0$.

Да, диагонали перпендикулярны.

Площадь дельтоида равна половине произведения диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

$S_{MNFK} = \frac{1}{2} \cdot MF \cdot NK$

$MF = m\sqrt{2}/2$

$NK = m\sqrt{6}/4$

$S_{MNFK} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{m\sqrt{6}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m^2\sqrt{12}}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m^2 \cdot 2\sqrt{3}}{8} = \frac{m^2\sqrt{3}}{8}$.

Теперь оба метода (проекция и формула дельтоида) дают одинаковый результат $m^2\sqrt{3}/8$. Ошибка была в вычислении площади $\triangle NKF$ или $\triangle MNF$ через кросс-продукт.

Давайте перепроверим $\vec{NM} \times \vec{NF}$ для $\triangle MNF$.

$\vec{NM} = (-m/4, -m/4, 0)$

$\vec{NF} = (-m/4, m/4, m/2)$

$\vec{NM} \times \vec{NF} = (-m^2/8, m^2/8, -m^2/8)$ (это было правильно)

Модуль: $\sqrt{3(m^2/8)^2} = \frac{\sqrt{3}m^2}{8}$. (это было правильно)

Площадь $\triangle MNF = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}m^2}{8} = \frac{\sqrt{3}m^2}{16}$. (это было правильно)

Теперь $\vec{NK} \times \vec{NF}$ для $\triangle NKF$.

$\vec{NK} = (-m/2, -m/4, m/4)$

$\vec{NF} = (-m/4, m/4, m/2)$

$\vec{NK} \times \vec{NF} = \mathbf{i}( (-m/4)(m/2) - (m/4)(m/4) ) - \mathbf{j}( (-m/2)(m/2) - (m/4)(-m/4) ) + \mathbf{k}( (-m/2)(m/4) - (-m/4)(-m/4) )$

$= \mathbf{i}( -m^2/8 - m^2/16 ) - \mathbf{j}( -m^2/4 + m^2/16 ) + \mathbf{k}( -m^2/8 - m^2/16 )$

$= \mathbf{i}( -3m^2/16 ) - \mathbf{j}( -3m^2/16 ) + \mathbf{k}( -3m^2/16 )$ --- ОШИБКА ЗДЕСЬ!

$(-m^2/4 + m^2/16) = (-4m^2/16 + m^2/16) = -3m^2/16$.

Так что $\mathbf{j}$ компонент должен быть $-(-3m^2/16) = 3m^2/16$.

Вектор: $(-3m^2/16, 3m^2/16, -3m^2/16)$. Это было верно.

Модуль: $\sqrt{(-3m^2/16)^2 + (3m^2/16)^2 + (-3m^2/16)^2} = \sqrt{3(3m^2/16)^2} = \frac{\sqrt{3} \cdot 3m^2}{16}$. (Это тоже было верно.)

Площадь $\triangle NKF = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}m^2}{16} = \frac{3\sqrt{3}m^2}{32}$. (Это тоже было верно.)

Значит, сумма площадей $\frac{\sqrt{3}m^2}{16} + \frac{3\sqrt{3}m^2}{32} = \frac{2\sqrt{3}m^2 + 3\sqrt{3}m^2}{32} = \frac{5\sqrt{3}m^2}{32}$.

Почему же результат не совпадает с методом дельтоида?

Дельтоид $MNFK$ имеет диагонали $MF$ и $NK$.

$\vec{MF}=(0, m/2, m/2)$. Длина $MF = \sqrt{m^2/4 + m^2/4} = \sqrt{m^2/2} = m/\sqrt{2} = m\sqrt{2}/2$.

$\vec{NK}=(-m/2, -m/4, m/4)$. Длина $NK = \sqrt{m^2/4 + m^2/16 + m^2/16} = \sqrt{4m^2/16 + 2m^2/16} = \sqrt{6m^2/16} = m\sqrt{6}/4$.

Площадь дельтоида $S = \frac{1}{2} MF \cdot NK = \frac{1}{2} \cdot \frac{m\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{m\sqrt{6}}{4} = \frac{1}{2} \frac{m^2\sqrt{12}}{8} = \frac{1}{2} \frac{m^2 2\sqrt{3}}{8} = \frac{m^2\sqrt{3}}{8}$.

Ошибка в том, что четырехугольник $MNFK$ не является плоским. Все вершины сечения лежат в одной плоскости по определению сечения.

Проблема в том, что точки $M, N, F, K$ не обязательно формируют выпуклый четырехугольник, который можно разбить на эти два треугольника по диагонали $NF$.

Если мы берем $MNF$ и $NKF$, то они должны быть по одну сторону от $NF$.

Let's check the order of vertices for the polygon.

M on AB, K on SB, F on SC, N on AC.

The order of vertices around the perimeter of the section would be $M \to K \to F \to N \to M$.

So the diagonals are $MK$ and $NF$. The calculated lengths are $MK = m\sqrt{2}/4$ and $NF = m\sqrt{6}/4$.

I calculated $\vec{MF} \cdot \vec{NK} = 0$, so these are the perpendicular diagonals. This implies that $MNFK$ is indeed a deltoid.

The lengths are $MN = m\sqrt{2}/4$, $NK = m\sqrt{6}/4$, $KF = m\sqrt{6}/4$, $FM = m\sqrt{2}/2$. This is wrong. $FM$ should be $MN$.

Recalculate $FM$: $F=(m/2, m/2, m/2)$, $M=(m/2, 0, 0)$.

$FM = \sqrt{(m/2-m/2)^2 + (0-m/2)^2 + (0-m/2)^2} = \sqrt{0 + m^2/4 + m^2/4} = \sqrt{m^2/2} = m\sqrt{2}/2$.

So, $FM = m\sqrt{2}/2$, $MN = m\sqrt{2}/4$. These sides are not equal. This is not a deltoid where $MN=MK$ and $FN=FK$.

The pairs of equal sides in a deltoid are adjacent sides. $MN=MK$ and $NF=KF$ if $NK$ is the axis of symmetry.

My calculated side lengths were:

$MN = m\sqrt{2}/4$

$NF = m\sqrt{6}/4$

$FK = m\sqrt{6}/4$

$KM = m\sqrt{2}/4$

This means $MN=KM$ and $NF=FK$. This is indeed a deltoid.

The diagonals are $MK$ and $NF$. Let's check their dot product.

$\vec{MK} = K-M = (m/4 - m/2, 0 - 0, m/4 - 0) = (-m/4, 0, m/4)$.

$\vec{NF} = F-N = (m/2 - 3m/4, m/2 - m/4, m/2 - 0) = (-m/4, m/4, m/2)$.

$\vec{MK} \cdot \vec{NF} = (-m/4)(-m/4) + (0)(m/4) + (m/4)(m/2) = m^2/16 + 0 + m^2/8 = 3m^2/16 \ne 0$.

So, the diagonals $MK$ and $NF$ are NOT perpendicular. My previous check for perpendicularity of MF and NK was for different diagonals (the ones I initially thought were the correct ones).

The actual diagonals are $MF$ and $NK$. Let's check those.

$\vec{MF} = (0, m/2, m/2)$.

$\vec{NK} = (-m/2, -m/4, m/4)$.

$\vec{MF} \cdot \vec{NK} = 0 \cdot (-m/2) + (m/2)(-m/4) + (m/2)(m/4) = 0 - m^2/8 + m^2/8 = 0$.

Yes, $\vec{MF} \perp \vec{NK}$. So $MNFK$ IS a deltoid with perpendicular diagonals $MF$ and $NK$.

The area calculation for the deltoid: $S = \frac{1}{2} MF \cdot NK = \frac{m^2\sqrt{3}}{8}$. This method is correct.

Now, let's find the error in the sum of triangle areas.

The sum of triangle areas $\frac{\sqrt{3}m^2}{16} + \frac{3\sqrt{3}m^2}{32} = \frac{5\sqrt{3}m^2}{32}$.

This sum must equal $m^2\sqrt{3}/8 = 4m^2\sqrt{3}/32$.

The error means that the triangles $MNF$ and $NKF$ do not sum up to the total area using this partition, or that the calculation of one of them is wrong.

I used vertices $N, M, F$ and $N, K, F$. The common side is $NF$. The decomposition is correct if $M$ and $K$ are on opposite sides of the line $NF$.

The coordinates of $N, F$ are $N(3m/4, m/4, 0)$ and $F(m/2, m/2, m/2)$.

Equation of line $NF$: $P(t) = N + t(F-N) = (3m/4, m/4, 0) + t(-m/4, m/4, m/2)$.

Point $M(m/2, 0, 0)$. Point $K(m/4, 0, m/4)$.

The problem is likely just a calculation error in one of the cross products. Let's re-calculate $S_{\triangle NKF}$ more carefully.

$\vec{NK} = (-m/2, -m/4, m/4)$.

$\vec{NF} = (-m/4, m/4, m/2)$.

Area using coordinates: $\frac{1}{2} |\det(\vec{u}, \vec{v})|$ if vectors are in 2D. For 3D, it's $1/2 |\vec{u} \times \vec{v}|$.

My cross product calculation for $\vec{NK} \times \vec{NF}$ was $(-3m^2/16, 3m^2/16, -3m^2/16)$.

Its magnitude was $\sqrt{3(3m^2/16)^2} = \frac{3\sqrt{3}m^2}{16}$.

So $S_{\triangle NKF} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}m^2}{16} = \frac{3\sqrt{3}m^2}{32}$. This is correct.

The issue is the sum of areas.

Area from deltoid formula: $\frac{m^2\sqrt{3}}{8} = \frac{4m^2\sqrt{3}}{32}$.

Area from sum of triangles: $\frac{5m^2\sqrt{3}}{32}$.

These are different. This indicates that the partition into $\triangle MNF$ and $\triangle NKF$ is incorrect, meaning the diagonal $NF$ is not separating the convex hull of the vertices $M,N,F,K$.

Let's confirm if $MNFK$ is convex. Yes, it must be, as it's a planar section.

The vertices are $M(m/2,0,0)$, $N(3m/4,m/4,0)$, $K(m/4,0,m/4)$, $F(m/2,m/2,m/2)$.

Let's check the order of vertices $M, K, F, N$.

$M(0.5,0,0)$, $K(0.25,0,0.25)$, $F(0.5,0.5,0.5)$, $N(0.75,0.25,0)$. (normalized by $m$)

Plotting these points in 2D projection or mentally imagining their positions, it seems that $MKFN$ or $MNFK$ are valid orders.

The decomposition for a convex quadrilateral $ABCD$ is $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC}$. So it should be $S_{MNFK} = S_{MNF} + S_{MKF}$.

If we use diagonal $MF$:

$S_{MNF} = \frac{\sqrt{3}m^2}{16}$.

$S_{MKF}$: vertices $M(m/2,0,0)$, $K(m/4,0,m/4)$, $F(m/2,m/2,m/2)$.

$\vec{KM} = M-K = (m/4, 0, -m/4)$.

$\vec{KF} = F-K = (m/4, m/2, m/4)$.

$S_{\triangle MKF} = \frac{1}{2} |\vec{KM} \times \vec{KF}|$.

$\vec{KM} \times \vec{KF} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ m/4 & 0 & -m/4 \\ m/4 & m/2 & m/4 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}( 0 - (-m/4)(m/2) ) - \mathbf{j}( (m/4)(m/4) - (-m/4)(m/4) ) + \mathbf{k}( (m/4)(m/2) - 0 )$

$= \mathbf{i}( m^2/8 ) - \mathbf{j}( m^2/16 + m^2/16 ) + \mathbf{k}( m^2/8 )$

$= (m^2/8, -2m^2/16, m^2/8) = (m^2/8, -m^2/8, m^2/8)$.

Magnitude: $\sqrt{(m^2/8)^2 + (-m^2/8)^2 + (m^2/8)^2} = \sqrt{3(m^2/8)^2} = \frac{\sqrt{3}m^2}{8}$.

Area $S_{\triangle MKF} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}m^2}{8} = \frac{\sqrt{3}m^2}{16}$.

So, $S_{MNFK} = S_{\triangle MNF} + S_{\triangle MKF} = \frac{\sqrt{3}m^2}{16} + \frac{\sqrt{3}m^2}{16} = \frac{2\sqrt{3}m^2}{16} = \frac{\sqrt{3}m^2}{8}$.

This matches the deltoid formula and the projection method. The first sum of triangles was using the wrong diagonal for the split or a typo in the calculation.

The calculation is correct now. The area of the section is $\frac{m^2\sqrt{3}}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{m^2\sqrt{3}}{8}$.

Дано:

Треугольная пирамида $SABC$.

Основание $\triangle ABC$ - прямоугольный, с гипотенузой $AC$.

Боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

Сечение плоскостью, проходящей через середину $M$ ребра $AB$.

Плоскость сечения перпендикулярна ребру $SC$.

$AB = BC = SA = m$.

Перевод в СИ:

Все размеры даны в виде символа $m$, который является единицей длины, поэтому дополнительный перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем декартову систему координат. Поскольку $\triangle ABC$ является прямоугольным с гипотенузой $AC$ и $AB=BC=m$, прямой угол находится при вершине $B$. Пусть $B$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин основания будут:

• $B = (0,0,0)$
• $A = (m,0,0)$ (так как $AB=m$ и $AB \perp BC$)
• $C = (0,m,0)$ (так как $BC=m$ и $AB \perp BC$)

Поскольку $SA \perp$ плоскости основания $ABC$ и $SA=m$, вершина $S$ находится над точкой $A$:

• $S = (m,0,m)$

Середина $M$ ребра $AB$ имеет координаты:

• $M = (\frac{m}{2}, 0, 0)$

Найдем вектор $\vec{SC}$: $C - S = (0,m,0) - (m,0,m) = (-m, m, -m)$.

Плоскость сечения $\Pi$ перпендикулярна ребру $SC$. Это означает, что вектор $\vec{SC}$ является нормальным вектором к плоскости $\Pi$. Мы можем взять нормальный вектор $\vec{n} = (-1, 1, -1)$ (поскольку он пропорционален $\vec{SC}$).

Уравнение плоскости $\Pi$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим $\vec{n}$: $-x + y - z + D = 0$.

Плоскость $\Pi$ проходит через точку $M(\frac{m}{2}, 0, 0)$. Подставим координаты $M$ в уравнение плоскости:

$-\frac{m}{2} + 0 - 0 + D = 0 \Rightarrow D = \frac{m}{2}$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения $\Pi$: $-x + y - z + \frac{m}{2} = 0$, или $x - y + z - \frac{m}{2} = 0$.

Найдем точки пересечения плоскости $\Pi$ с ребрами пирамиды:

1. Ребро $AB$: (линия $y=0, z=0$, от $B(0,0,0)$ до $A(m,0,0)$)

   $x - 0 + 0 - \frac{m}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{m}{2}$.

   Это точка $M(\frac{m}{2}, 0, 0)$, что соответствует условию.

2. Ребро $BC$: (линия $x=0, z=0$, от $B(0,0,0)$ до $C(0,m,0)$)

   $0 - y + 0 - \frac{m}{2} = 0 \Rightarrow y = -\frac{m}{2}$.

   Так как $y$ должен быть в диапазоне $[0, m]$, точка $(0, -\frac{m}{2}, 0)$ не лежит на отрезке $BC$. Сечение не пересекает ребро $BC$.

3. Ребро $AC$: (от $A(m,0,0)$ до $C(0,m,0)$)

   Вектор $\vec{AC} = C - A = (-m, m, 0)$.

   Параметрическое уравнение прямой $AC$: $P(t) = A + t \vec{AC} = (m,0,0) + t(-m,m,0) = (m-tm, tm, 0)$.

   Подставим в уравнение плоскости $x - y + z - \frac{m}{2} = 0$:

   $(m-tm) - tm + 0 - \frac{m}{2} = 0 \Rightarrow m - 2tm - \frac{m}{2} = 0 \Rightarrow \frac{m}{2} - 2tm = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{4}$.

   При $t=\frac{1}{4}$, точка $N = (m - \frac{m}{4}, \frac{m}{4}, 0) = (\frac{3m}{4}, \frac{m}{4}, 0)$. Эта точка лежит на отрезке $AC$ ($0 \le t \le 1$). Это вторая вершина сечения.

4. Ребро $SA$: (от $A(m,0,0)$ до $S(m,0,m)$)

   Для точек на $SA$, $x=m, y=0$.

   $m - 0 + z - \frac{m}{2} = 0 \Rightarrow z + \frac{m}{2} = 0 \Rightarrow z = -\frac{m}{2}$.

   Так как $z$ должен быть в диапазоне $[0, m]$, точка $(m, 0, -\frac{m}{2})$ не лежит на отрезке $SA$. Сечение не пересекает ребро $SA$.

5. Ребро $SB$: (от $B(0,0,0)$ до $S(m,0,m)$)

   Вектор $\vec{SB} = S - B = (m, 0, m)$.

   Параметрическое уравнение прямой $SB$: $P(t) = B + t \vec{SB} = (tm, 0, tm)$.

   Подставим в уравнение плоскости $x - y + z - \frac{m}{2} = 0$:

   $tm - 0 + tm - \frac{m}{2} = 0 \Rightarrow 2tm - \frac{m}{2} = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{4}$.

   При $t=\frac{1}{4}$, точка $K = (\frac{m}{4}, 0, \frac{m}{4})$. Эта точка лежит на отрезке $SB$ ($0 \le t \le 1$). Это третья вершина сечения.

6. Ребро $SC$: (от $S(m,0,m)$ до $C(0,m,0)$)

   Вектор $\vec{SC} = C - S = (-m, m, -m)$.

   Параметрическое уравнение прямой $SC$: $P(t) = S + t \vec{SC} = (m,0,m) + t(-m,m,-m) = (m-tm, tm, m-tm)$.

   Подставим в уравнение плоскости $x - y + z - \frac{m}{2} = 0$:

   $(m-tm) - tm + (m-tm) - \frac{m}{2} = 0 \Rightarrow 2m - 3tm - \frac{m}{2} = 0 \Rightarrow \frac{3m}{2} - 3tm = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$.

   При $t=\frac{1}{2}$, точка $F = (m-\frac{m}{2}, \frac{m}{2}, m-\frac{m}{2}) = (\frac{m}{2}, \frac{m}{2}, \frac{m}{2})$. Эта точка лежит на отрезке $SC$ ($0 \le t \le 1$). Это четвертая вершина сечения.

Таким образом, сечение является четырехугольником $MNFK$ с вершинами:

• $M(\frac{m}{2}, 0, 0)$
• $N(\frac{3m}{4}, \frac{m}{4}, 0)$
• $K(\frac{m}{4}, 0, \frac{m}{4})$
• $F(\frac{m}{2}, \frac{m}{2}, \frac{m}{2})$

Найдем длины сторон четырехугольника:

• $MN = \sqrt{(\frac{3m}{4} - \frac{m}{2})^2 + (\frac{m}{4} - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(\frac{m}{4})^2 + (\frac{m}{4})^2} = \sqrt{\frac{m^2}{16} + \frac{m^2}{16}} = \sqrt{\frac{2m^2}{16}} = \frac{m\sqrt{2}}{4}$.
• $NK = \sqrt{(\frac{m}{4} - \frac{3m}{4})^2 + (0 - \frac{m}{4})^2 + (\frac{m}{4} - 0)^2} = \sqrt{(-\frac{m}{2})^2 + (-\frac{m}{4})^2 + (\frac{m}{4})^2} = \sqrt{\frac{m^2}{4} + \frac{m^2}{16} + \frac{m^2}{16}} = \sqrt{\frac{4m^2+m^2+m^2}{16}} = \sqrt{\frac{6m^2}{16}} = \frac{m\sqrt{6}}{4}$.
• $KF = \sqrt{(\frac{m}{2} - \frac{m}{4})^2 + (\frac{m}{2} - 0)^2 + (\frac{m}{2} - \frac{m}{4})^2} = \sqrt{(\frac{m}{4})^2 + (\frac{m}{2})^2 + (\frac{m}{4})^2} = \sqrt{\frac{m^2}{16} + \frac{m^2}{4} + \frac{m^2}{16}} = \sqrt{\frac{m^2+4m^2+m^2}{16}} = \sqrt{\frac{6m^2}{16}} = \frac{m\sqrt{6}}{4}$.
• $FM = \sqrt{(\frac{m}{2} - \frac{m}{2})^2 + (0 - \frac{m}{2})^2 + (0 - \frac{m}{2})^2} = \sqrt{0 + (-\frac{m}{2})^2 + (-\frac{m}{2})^2} = \sqrt{\frac{m^2}{4} + \frac{m^2}{4}} = \sqrt{\frac{2m^2}{4}} = \frac{m\sqrt{2}}{2}$.

Заметим, что $MN = \frac{m\sqrt{2}}{4}$, $KF = \frac{m\sqrt{6}}{4}$, $FM = \frac{m\sqrt{2}}{2}$, $NK = \frac{m\sqrt{6}}{4}$.

Сечение $MNFK$ является дельтоидом (или ромбоидом), так как $NK = KF = \frac{m\sqrt{6}}{4}$ и $MN \ne FM$.

Найдем длины диагоналей:

• Диагональ $NK$ уже вычислена: $NK = \frac{m\sqrt{6}}{4}$.
• Диагональ $MF = \sqrt{(\frac{m}{2} - \frac{m}{2})^2 + (\frac{m}{2} - 0)^2 + (\frac{m}{2} - 0)^2} = \sqrt{0 + \frac{m^2}{4} + \frac{m^2}{4}} = \sqrt{\frac{m^2}{2}} = \frac{m\sqrt{2}}{2}$.

Проверим перпендикулярность диагоналей $NK$ и $MF$ с помощью скалярного произведения векторов:

$\vec{NK} = K - N = (\frac{m}{4} - \frac{3m}{4}, 0 - \frac{m}{4}, \frac{m}{4} - 0) = (-\frac{m}{2}, -\frac{m}{4}, \frac{m}{4})$.

$\vec{MF} = F - M = (\frac{m}{2} - \frac{m}{2}, \frac{m}{2} - 0, \frac{m}{2} - 0) = (0, \frac{m}{2}, \frac{m}{2})$.

$\vec{NK} \cdot \vec{MF} = (-\frac{m}{2})(0) + (-\frac{m}{4})(\frac{m}{2}) + (\frac{m}{4})(\frac{m}{2}) = 0 - \frac{m^2}{8} + \frac{m^2}{8} = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, диагонали $NK$ и $MF$ перпендикулярны.

Площадь дельтоида (или любого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями) равна половине произведения длин его диагоналей:

$S_{MNFK} = \frac{1}{2} \cdot NK \cdot MF = \frac{1}{2} \cdot \frac{m\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{m\sqrt{2}}{2}$.

$S_{MNFK} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m^2\sqrt{12}}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m^2 \cdot 2\sqrt{3}}{8} = \frac{m^2\sqrt{3}}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{m^2\sqrt{3}}{8}$.