Номер 175, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

175. Дана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Каждое ее боковое ребро равно 9 см и составляет со смежными сторонами оснований углы $60^\circ$ и $\alpha$. Найдите высоту этой пирамиды и множество допустимых значений $\alpha$.

Дано:

пирамида с прямоугольным основанием;

длина каждого бокового ребра $L = 9$ см;

углы, которые боковое ребро составляет со смежными сторонами основания: $60^\circ$ и $\alpha$.

Перевод в СИ:

$L = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$.

Найти:

высота пирамиды $H$;

множество допустимых значений $\alpha$.

Решение:

Пусть вершина пирамиды S, основание - прямоугольник ABCD. Пусть L - длина каждого бокового ребра, то есть $SA = SB = SC = SD = L = 9$ см. Поскольку все боковые ребра равны, высота пирамиды SO (где O - проекция вершины S на плоскость основания) падает в центр описанной окружности основания. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей.

Пусть AB = $a$ и AD = $b$ - длины сторон прямоугольника основания. Рассмотрим боковое ребро SA. Оно образует углы $60^\circ$ и $\alpha$ со смежными сторонами основания AB и AD. Пусть $\angle SAB = 60^\circ$ и $\angle SAD = \alpha$.

Высота этой пирамиды

Рассмотрим треугольник SAB. Это равнобедренный треугольник, так как $SA = SB = L$. Применим теорему косинусов для стороны SB: $SB^2 = SA^2 + AB^2 - 2 \cdot SA \cdot AB \cdot \cos(\angle SAB)$ $L^2 = L^2 + a^2 - 2 \cdot L \cdot a \cdot \cos(60^\circ)$ $0 = a^2 - 2 \cdot L \cdot a \cdot \frac{1}{2}$ $0 = a^2 - L \cdot a$ $a(a - L) = 0$ Так как $a \neq 0$ (сторона прямоугольника), то $a = L = 9$ см.

Рассмотрим треугольник SAD. Это равнобедренный треугольник, так как $SA = SD = L$. Применим теорему косинусов для стороны SD: $SD^2 = SA^2 + AD^2 - 2 \cdot SA \cdot AD \cdot \cos(\angle SAD)$ $L^2 = L^2 + b^2 - 2 \cdot L \cdot b \cdot \cos(\alpha)$ $0 = b^2 - 2 \cdot L \cdot b \cdot \cos(\alpha)$ $b(b - 2 \cdot L \cdot \cos(\alpha)) = 0$ Так как $b \neq 0$ (сторона прямоугольника), то $b = 2 \cdot L \cdot \cos(\alpha)$. Подставим $L = 9$: $b = 2 \cdot 9 \cdot \cos(\alpha) = 18 \cos(\alpha)$ см.

Для того чтобы $b$ было положительной длиной, должно выполняться $b > 0$, то есть $18 \cos(\alpha) > 0$. Следовательно, $\cos(\alpha) > 0$. Поскольку $\alpha$ является углом в треугольнике (а также в пространственной фигуре), $0 < \alpha < \pi$. Условие $\cos(\alpha) > 0$ сужает диапазон до $0 < \alpha < \pi/2$.

Теперь найдем длину диагонали основания AC. По теореме Пифагора для прямоугольника ABCD: $AC^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + b^2$ $AC^2 = 9^2 + (18 \cos(\alpha))^2 = 81 + 324 \cos^2(\alpha)$ $AC = \sqrt{81 + 324 \cos^2(\alpha)} = \sqrt{81(1 + 4 \cos^2(\alpha))} = 9\sqrt{1 + 4 \cos^2(\alpha)}$.

Точка O - это середина диагонали AC. Значит, $OA = \frac{AC}{2}$. $OA = \frac{9\sqrt{1 + 4 \cos^2(\alpha)}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO (прямой угол при O). По теореме Пифагора: $SO^2 + OA^2 = SA^2$. $H^2 + \left(\frac{9\sqrt{1 + 4 \cos^2(\alpha)}}{2}\right)^2 = 9^2$ $H^2 + \frac{81(1 + 4 \cos^2(\alpha))}{4} = 81$ $H^2 = 81 - \frac{81(1 + 4 \cos^2(\alpha))}{4}$ $H^2 = \frac{324 - 81 - 324 \cos^2(\alpha)}{4}$ $H^2 = \frac{243 - 324 \cos^2(\alpha)}{4}$ $H^2 = \frac{81 \cdot 3 - 81 \cdot 4 \cos^2(\alpha)}{4}$ $H^2 = 81 \left(\frac{3 - 4 \cos^2(\alpha)}{4}\right)$ $H = \sqrt{81 \left(\frac{3}{4} - \cos^2(\alpha)\right)}$ $H = 9 \sqrt{\frac{3}{4} - \cos^2(\alpha)}$.

Ответ: $H = 9 \sqrt{\frac{3}{4} - \cos^2(\alpha)}$ см.

Множество допустимых значений $\alpha$

Для того чтобы высота H была действительным числом и положительной (для невырожденной пирамиды), необходимо, чтобы выражение под корнем было строго положительным: $\frac{3}{4} - \cos^2(\alpha) > 0$ $\cos^2(\alpha) < \frac{3}{4}$ Поскольку мы уже установили, что $0 < \alpha < \pi/2$ (из условия $b > 0$), то $\cos(\alpha)$ также должно быть положительным. $0 < \cos(\alpha) < \sqrt{\frac{3}{4}}$ $0 < \cos(\alpha) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Известно, что $\cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\pi/2) = 0$. Так как функция косинуса убывает на интервале $(0, \pi/2)$, то условие $0 < \cos(\alpha) < \frac{\sqrt{3}}{2}$ эквивалентно: $\pi/6 < \alpha < \pi/2$.

Ответ: $\alpha \in \left(\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right)$ или $\alpha \in (30^\circ; 90^\circ)$.