Номер 174, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

174. Какую наибольшую площадь боковой поверхности может иметь прямоугольный параллелепипед с данной диагональю $d$ и квадратным основанием?

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием.

Диагональ параллелепипеда: $d$.

Перевод в СИ:

Все величины представлены в общем виде и не требуют перевода в конкретные единицы системы СИ.

Найти:

Наибольшую площадь боковой поверхности ($S_{бок, max}$).

Решение:

Пусть стороны квадратного основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$, а его высота равна $h$.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d$ связана с его измерениями $a, a, h$ по теореме Пифагора в трехмерном пространстве:

$d^2 = a^2 + a^2 + h^2$

$d^2 = 2a^2 + h^2$

Отсюда выразим высоту $h$ через $a$ и $d$:

$h^2 = d^2 - 2a^2$

$h = \sqrt{d^2 - 2a^2}$

Для того чтобы высота $h$ была действительной и положительной величиной, необходимо, чтобы подкоренное выражение было строго больше нуля: $d^2 - 2a^2 > 0$. Это означает $2a^2 < d^2$, или $a^2 < \frac{d^2}{2}$. Таким образом, $0 < a < \frac{d}{\sqrt{2}}$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием (со стороной $a$) и высотой $h$ вычисляется как периметр основания, умноженный на высоту:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4a) \cdot h$

Подставим выражение для $h$ в формулу для $S_{бок}$:

$S_{бок}(a) = 4a\sqrt{d^2 - 2a^2}$

Для нахождения наибольшего значения функции $S_{бок}(a)$ удобно рассмотреть квадрат этой функции, так как максимизация $S_{бок}(a)$ эквивалентна максимизации $S_{бок}^2(a)$ для положительных значений. Обозначим $f(a) = S_{бок}^2(a)$:

$f(a) = (4a\sqrt{d^2 - 2a^2})^2 = 16a^2(d^2 - 2a^2) = 16a^2d^2 - 32a^4$

Найдем производную $f'(a)$ по $a$ и приравняем ее к нулю для нахождения критических точек:

$f'(a) = \frac{d}{da}(16a^2d^2 - 32a^4) = 32ad^2 - 128a^3$

Приравняем производную к нулю:

$32ad^2 - 128a^3 = 0$

$32a(d^2 - 4a^2) = 0$

Так как $a \neq 0$ (иначе параллелепипед вырождается), то:

$d^2 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = d^2$

$a^2 = \frac{d^2}{4}$

Поскольку $a$ является длиной стороны и должна быть положительной, получаем:

$a = \frac{d}{2}$

Проверим, что это значение $a$ находится в допустимом диапазоне $0 < a < \frac{d}{\sqrt{2}}$:

Мы имеем $\frac{d}{2} < \frac{d}{\sqrt{2}}$, что верно, так как $\frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{2}}$ (после возведения в квадрат: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$).

Для подтверждения того, что найденная критическая точка соответствует максимуму, вычислим вторую производную:

$f''(a) = \frac{d}{da}(32ad^2 - 128a^3) = 32d^2 - 384a^2$

Подставим $a = \frac{d}{2}$ во вторую производную:

$f''\left(\frac{d}{2}\right) = 32d^2 - 384\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 32d^2 - 384\left(\frac{d^2}{4}\right) = 32d^2 - 96d^2 = -64d^2$

Поскольку $f''\left(\frac{d}{2}\right) < 0$ (при $d \neq 0$), это значение $a$ действительно соответствует максимуму функции $f(a)$, а следовательно, и $S_{бок}(a)$.

Теперь подставим $a = \frac{d}{2}$ обратно в выражения для $h$ и $S_{бок}$:

Найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{d^2 - 2a^2} = \sqrt{d^2 - 2\left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{d^2 - 2\frac{d^2}{4}} = \sqrt{d^2 - \frac{d^2}{2}} = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}}$

Вычислим наибольшую площадь боковой поверхности:

$S_{бок, max} = 4ah = 4\left(\frac{d}{2}\right)\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right) = 2d \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2d^2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}d^2}{2} = \sqrt{2}d^2$

Ответ:

$\sqrt{2}d^2$