Номер 171, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

171. Ортогональной проекцией вершины треугольной пирамиды является центр окружности, вписанной в ее основание. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, отделило от нее усеченную пирамиду, площади оснований которой относятся как $4 : 49$. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, если стороны ее нижнего основания и высота соответственно равны: 25 см, 39 см, 56 см и 12 см.

Рисунок 92

Дано:

Исходная пирамида: треугольная. Ортогональная проекция вершины пирамиды - центр окружности, вписанной в ее основание.

Усеченная пирамида образована сечением, параллельным основанию исходной пирамиды.

Отношение площадей оснований усеченной пирамиды: $S_{верх} / S_{нижн} = 4 : 49$.

Стороны нижнего основания усеченной пирамиды: $a_1 = 25 \text{ см}$, $b_1 = 39 \text{ см}$, $c_1 = 56 \text{ см}$.

Высота усеченной пирамиды: $H_{усеч} = 12 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

$b_1 = 39 \text{ см} = 0.39 \text{ м}$

$c_1 = 56 \text{ см} = 0.56 \text{ м}$

$H_{усеч} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды ($S_{бок.усеч}$).

Решение:

Поскольку сечение параллельно основанию, малая пирамида, отсеченная от исходной, подобна исходной пирамиде. Основания усеченной пирамиды также подобны.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($k$):

$\frac{S_{верх}}{S_{нижн}} = k^2 = \frac{4}{49}$

Отсюда, коэффициент подобия $k = \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}$.

Этот коэффициент связывает линейные размеры верхнего (малого) и нижнего (большого) оснований, а также высоты и апофемы соответствующих пирамид.

1. Найдем периметр нижнего основания ($P_1$):

Стороны нижнего основания $a_1 = 25 \text{ см}$, $b_1 = 39 \text{ см}$, $c_1 = 56 \text{ см}$.

$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 25 + 39 + 56 = 120 \text{ см}$.

Ответ:

2. Найдем периметр верхнего основания ($P_2$):

$P_2 = k \cdot P_1 = \frac{2}{7} \cdot 120 = \frac{240}{7} \text{ см}$.

Ответ:

3. Найдем полупериметр нижнего основания ($p_1$) и его площадь ($S_1$):

$p_1 = \frac{P_1}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ см}$.

Используем формулу Герона для площади треугольника:

$S_1 = \sqrt{p_1(p_1-a_1)(p_1-b_1)(p_1-c_1)}$

$S_1 = \sqrt{60(60-25)(60-39)(60-56)}$

$S_1 = \sqrt{60 \cdot 35 \cdot 21 \cdot 4} = \sqrt{(4 \cdot 15) \cdot (5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7) \cdot 4} = \sqrt{4^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420 \text{ см}^2$.

Ответ:

4. Найдем радиус вписанной окружности в нижнее основание ($r_1$):

Поскольку ортогональная проекция вершины пирамиды является центром вписанной окружности, боковые грани пирамиды имеют равные апофемы. Это позволяет использовать формулу для радиуса вписанной окружности:

$r_1 = \frac{S_1}{p_1} = \frac{420}{60} = 7 \text{ см}$.

Ответ:

5. Найдем радиус вписанной окружности в верхнее основание ($r_2$):

$r_2 = k \cdot r_1 = \frac{2}{7} \cdot 7 = 2 \text{ см}$.

Ответ:

6. Найдем апофему боковой грани усеченной пирамиды ($h_{апоф.усеч}$):

Высота усеченной пирамиды $H_{усеч} = 12 \text{ см}$.

Апофема боковой грани усеченной пирамиды является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота усеченной пирамиды и разность радиусов вписанных окружностей ее оснований. Это применимо, поскольку проекция вершины совпадает с центром вписанной окружности.

$h_{апоф.усеч} = \sqrt{H_{усеч}^2 + (r_1 - r_2)^2}$

$h_{апоф.усеч} = \sqrt{12^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$.

Ответ:

7. Найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды ($S_{бок.усеч}$):

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды находится по формуле:

$S_{бок.усеч} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) h_{апоф.усеч}$

$S_{бок.усеч} = \frac{1}{2} \left(120 + \frac{240}{7}\right) \cdot 13$

$S_{бок.усеч} = \frac{1}{2} \left(\frac{120 \cdot 7 + 240}{7}\right) \cdot 13$

$S_{бок.усеч} = \frac{1}{2} \left(\frac{840 + 240}{7}\right) \cdot 13$

$S_{бок.усеч} = \frac{1}{2} \left(\frac{1080}{7}\right) \cdot 13$

$S_{бок.усеч} = \frac{540}{7} \cdot 13 = \frac{7020}{7} \text{ см}^2$.

Ответ: