Номер 176, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

176. Боковое ребро правильной десятиугольной пирамиды равно 16, а угол между соседними боковыми ребрами равен $ \varphi $. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды и множество допустимых значений $ \varphi $.

Дано

Правильная десятиугольная пирамида.

Длина бокового ребра: $l = 16$

Угол между соседними боковыми ребрами: $\phi$

Найти

Площадь боковой поверхности: $S_{бок}$

Множество допустимых значений $\phi$

Решение

Площадь боковой поверхности этой пирамиды

Правильная десятиугольная пирамида имеет 10 одинаковых боковых граней. Каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник, у которого две равные стороны — это боковые ребра пирамиды, а угол между ними равен $\phi$.

Площадь одного такого треугольника (боковой грани) можно найти по формуле площади треугольника по двум сторонам и углу между ними: $S_{грани} = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$. В данном случае $a=l$, $b=l$, $\gamma=\phi$.

$S_{грани} = \frac{1}{2} l \cdot l \sin(\phi) = \frac{1}{2} l^2 \sin(\phi)$

Подставим значение $l=16$:

$S_{грани} = \frac{1}{2} (16)^2 \sin(\phi) = \frac{1}{2} \cdot 256 \sin(\phi) = 128 \sin(\phi)$

Поскольку пирамида десятиугольная, у неё 10 боковых граней. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей всех этих граней:

$S_{бок} = 10 \cdot S_{грани} = 10 \cdot 128 \sin(\phi) = 1280 \sin(\phi)$

Ответ: $S_{бок} = 1280 \sin(\phi)$

множество допустимых значений $\phi$

Угол $\phi$ является углом в треугольнике (боковой грани). Следовательно, он должен быть строго больше 0 и строго меньше $\pi$ радиан (или 180 градусов): $0 < \phi < \pi$.

Кроме того, для существования выпуклой пирамиды, сумма плоских углов при вершине пирамиды (то есть сумма всех углов $\phi$ вокруг вершины) должна быть меньше $2\pi$ радиан (или 360 градусов). Поскольку у нас десятиугольная пирамида, таких углов 10.

Следовательно, $10\phi < 2\pi$.

Разделим обе части неравенства на 10:

$\phi < \frac{2\pi}{10}$

$\phi < \frac{\pi}{5}$

Объединяя оба условия ($0 < \phi < \pi$ и $\phi < \frac{\pi}{5}$), получаем, что допустимые значения $\phi$ должны удовлетворять условию:

$0 < \phi < \frac{\pi}{5}$

Ответ: Множество допустимых значений $\phi$: $(0, \frac{\pi}{5})$