Номер 183, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

183. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 5 см, а боковое ребро – 6 см. Тогда площадь полной поверхности этой призмы равна:

1) $(90 + 12{,}5\sqrt{3})\text{ см}^2$;

2) $(80 + 18\sqrt{3})\text{ см}^2$;

3) $110\text{ см}^2$;

4) $105\text{ см}^2$;

5) $120\text{ см}^2$.

Дано:

Сторона основания правильной треугольной призмы: $a = 5 \text{ см}$

Боковое ребро (высота призмы): $h = 6 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$a = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$h = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности призмы: $S_{полн}$

Решение

Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы состоит из суммы площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Формула для площади полной поверхности: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

1. Площадь основания ($S_{осн}$): Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Подставим значение $a = 5 \text{ см}$: $S_{осн} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} = 6.25 \sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$): Площадь боковой поверхности призмы вычисляется как произведение периметра основания на высоту призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$. Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен: $P_{осн} = 3a$. Подставим значение $a = 5 \text{ см}$: $P_{осн} = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}$. Теперь вычислим площадь боковой поверхности, используя $h = 6 \text{ см}$: $S_{бок} = 15 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 90 \text{ см}^2$.

3. Площадь полной поверхности ($S_{полн}$): Теперь подставим найденные значения площадей основания и боковой поверхности в формулу для полной поверхности: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot (6.25 \sqrt{3}) + 90 = 12.5 \sqrt{3} + 90 \text{ см}^2$. Перепишем в более привычном виде: $S_{полн} = (90 + 12.5 \sqrt{3}) \text{ см}^2$.

Ответ: $(90 + 12.5 \sqrt{3}) \text{ см}^2$