Номер 190, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

190. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны 10 м и 9 м, а ее высота равна 0,5 м. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дано:

Правильная шестиугольная усеченная пирамида.

Сторона большего основания: $a_1 = 10 \text{ м}$

Сторона меньшего основания: $a_2 = 9 \text{ м}$

Высота пирамиды: $h = 0.5 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

Все данные уже представлены в метрах (система СИ), поэтому перевод не требуется.

$a_1 = 10 \text{ м}$

$a_2 = 9 \text{ м}$

$h = 0.5 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности: $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна сумме площадей всех ее боковых граней. Каждая боковая грань является равнобочной трапецией. Для правильной шестиугольной усеченной пирамиды боковые грани представляют собой 6 равных трапеций. Площадь одной трапеции находится по формуле: $S_{трапеции} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot l$, где $l$ - апофема (высота) боковой грани.

Тогда общая площадь боковой поверхности будет: $S_{бок} = n \cdot \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot l$, где $n$ - количество сторон основания (для шестиугольника $n=6$).

$S_{бок} = 6 \cdot \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot l = 3(a_1 + a_2)l$

Для нахождения апофемы $l$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, разностью радиусов вписанных окружностей оснований $r_1 - r_2$ (апофемы оснований) и апофемой боковой грани $l$.

Радиус вписанной окружности (апофема) правильного шестиугольника со стороной $a$ равен $r = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Апофема большего основания: $r_1 = a_1 \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ м}$.

Апофема меньшего основания: $r_2 = a_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4.5\sqrt{3} \text{ м}$.

Разность апофем оснований: $r_1 - r_2 = 5\sqrt{3} - 4.5\sqrt{3} = 0.5\sqrt{3} \text{ м}$.

По теореме Пифагора для нахождения апофемы боковой грани $l$:

$l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$

$l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$

Подставляем значения:

$l = \sqrt{(0.5)^2 + (0.5\sqrt{3})^2}$

$l = \sqrt{0.25 + (0.25 \cdot 3)}$

$l = \sqrt{0.25 + 0.75}$

$l = \sqrt{1}$

$l = 1 \text{ м}$

Теперь подставим найденное значение $l$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 3(a_1 + a_2)l$

$S_{бок} = 3(10 + 9) \cdot 1$

$S_{бок} = 3(19) \cdot 1$

$S_{бок} = 57 \text{ м}^2$

Ответ:

57 м².