Номер 191, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

191. В наклонном параллелепипеде четыре грани являются квадратами со сторонами 8 см, а его боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Дано:

Сторона квадратов: $a = 8 \text{ см}$
Угол наклона бокового ребра к плоскости основания: $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Площадь полной поверхности параллелепипеда: $S_{полн}$

Решение:

Параллелепипед имеет 6 граней: 2 основания и 4 боковые грани. Условие "четыре грани являются квадратами" в контексте наклонного параллелепипеда, когда угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет $60^\circ$, разрешается следующим образом: две из этих четырех граней - это основания, и две другие - противоположные боковые грани.

Если две грани являются квадратами со стороной $8 \text{ см}$, это означает, что основания параллелепипеда являются квадратами со стороной $a = 8 \text{ см}$.

Площадь одного основания: $S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2$.

Так как грани являются квадратами, это также означает, что боковое ребро параллелепипеда равно стороне основания, то есть $l = a = 8 \text{ см}$.

Две противоположные боковые грани также являются квадратами со стороной $8 \text{ см}$. Это означает, что боковые ребра перпендикулярны сторонам основания, с которыми они образуют эти грани. Пусть основание параллелепипеда - квадрат $ABCD$. Боковое ребро $AA'$ имеет длину $l = 8 \text{ см}$. Угол наклона бокового ребра $AA'$ к плоскости основания $ABCD$ равен $\alpha = 60^\circ$. Высота параллелепипеда $h = l \sin(\alpha) = 8 \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}$. Длина проекции бокового ребра на плоскость основания $l_p = l \cos(\alpha) = 8 \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}$.

Расположим основание $ABCD$ в координатной плоскости $XY$. Пусть $A=(0,0,0)$, $B=(8,0,0)$, $D=(0,8,0)$. Вершина $A'$ имеет координаты $(x_{A'}, y_{A'}, h)$. Длина проекции $AH = \sqrt{x_{A'}^2 + y_{A'}^2} = l_p = 4$. Таким образом, $x_{A'}^2 + y_{A'}^2 = 4^2 = 16$.

Для того чтобы боковая грань $AA'B'B$ была квадратом, вектор $\vec{AA'}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{AB}$. $\vec{AB} = (8,0,0)$. $\vec{AA'} = (x_{A'}, y_{A'}, 4\sqrt{3})$. Скалярное произведение: $\vec{AA'} \cdot \vec{AB} = 8x_{A'} + 0 \cdot y_{A'} + 0 \cdot 4\sqrt{3} = 8x_{A'}$. Если $\vec{AA'} \perp \vec{AB}$, то $8x_{A'} = 0$, что означает $x_{A'} = 0$.

Из $x_{A'}^2 + y_{A'}^2 = 16$ и $x_{A'} = 0$ получаем $0^2 + y_{A'}^2 = 16$, то есть $y_{A'} = \pm 4$. Возьмем $y_{A'} = 4$. Таким образом, координаты $A'=(0, 4, 4\sqrt{3})$.

Теперь определим площади всех граней:

1. Два основания $ABCD$ и $A'B'C'D'$ являются квадратами со стороной $8 \text{ см}$.
2. $S_{осн1} = S_{осн2} = 8^2 = 64 \text{ см}^2$. (Две квадратные грани)
3. Боковая грань $AA'B'B$. Стороны $AB=8 \text{ см}$ и $AA'=8 \text{ см}$. Угол между $\vec{AA'}$ и $\vec{AB}$ равен $90^\circ$ (так как $x_{A'}=0$).
4. $S_{AA'B'B} = 8 \times 8 = 64 \text{ см}^2$. (Третья квадратная грань)
5. Боковая грань $CC'D'D$. Она противоположна $AA'B'B$, поэтому также является квадратом.
6. $S_{CC'D'D} = 64 \text{ см}^2$. (Четвертая квадратная грань)
7. Боковая грань $ADDA'$. Стороны $AD=8 \text{ см}$ и $AA'=8 \text{ см}$.
8. Для нахождения площади этой грани, найдем косинус угла $\angle DAA'$ между векторами $\vec{AD}=(0,8,0)$ и $\vec{AA'}=(0,4,4\sqrt{3})$.
9. $\cos(\angle DAA') = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{AA'}}{|\vec{AD}| \cdot |\vec{AA'}|} = \frac{(0 \cdot 0) + (8 \cdot 4) + (0 \cdot 4\sqrt{3})}{8 \cdot 8} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}$.
10. Следовательно, $\angle DAA' = 60^\circ$. Эта грань является ромбом (параллелограммом с равными сторонами) с углом $60^\circ$.
11. $S_{ADDA'} = AD \cdot AA' \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3} \text{ см}^2$.
12. Боковая грань $BCC'B'$. Она противоположна $ADDA'$, поэтому также является ромбом с углом $60^\circ$.
13. $S_{BCC'B'} = 32\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Полная площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех шести граней: $S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{AA'B'B} + S_{CC'D'D} + S_{ADDA'} + S_{BCC'B'}$ $S_{полн} = 64 + 64 + 64 + 64 + 32\sqrt{3} + 32\sqrt{3}$ $S_{полн} = 4 \cdot 64 + 2 \cdot 32\sqrt{3}$ $S_{полн} = 256 + 64\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $256 + 64\sqrt{3} \text{ см}^2$.