Номер 184, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

184. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды и ее высота равны $a$. Тогда площадь полной поверхности этой пирамиды равна:

1) $\frac{3a^2 \sqrt{10}}{2};$

2) $1,5a^2(\sqrt{3} + \sqrt{7});$

3) $3a^2(\sqrt{7} + \frac{\sqrt{3}}{2});$

4) $\frac{3a^2 \sqrt{5}}{2};$

5) $3a^2(\sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}).$

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида.

Сторона основания: $s = a$

Высота пирамиды: $h = a$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды: $S_{полная}$

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полная} = S_{основания} + S_{боковая}$.

1. Площадь основания ($S_{основания}$):

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле: $S_{основания} = \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2$.

Подставляем $s = a$:

$S_{основания} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

2. Площадь боковой поверхности ($S_{боковая}$):

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (высоту боковой грани): $S_{боковая} = \frac{1}{2} P_{основания} \cdot l$, где $l$ - апофема.

Периметр основания правильного шестиугольника со стороной $a$: $P_{основания} = 6s = 6a$.

Для нахождения апофемы $l$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, апофемой основания $r_{основания}$ (радиусом вписанной окружности в шестиугольник) и апофемой пирамиды $l$. В этом треугольнике $l$ является гипотенузой.

Апофема основания правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $r_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + r_{основания}^2$

Подставляем известные значения $h=a$ и $r_{основания}=\frac{\sqrt{3}}{2} a$:

$l^2 = a^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)^2$

$l^2 = a^2 + \frac{3}{4} a^2$

$l^2 = \frac{4a^2 + 3a^2}{4}$

$l^2 = \frac{7a^2}{4}$

$l = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} a$

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{боковая} = \frac{1}{2} P_{основания} \cdot l = \frac{1}{2} (6a) \left(\frac{\sqrt{7}}{2} a\right)$

$S_{боковая} = 3a \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} a$

$S_{боковая} = \frac{3\sqrt{7}}{2} a^2$

3. Площадь полной поверхности ($S_{полная}$):

$S_{полная} = S_{основания} + S_{боковая}$

$S_{полная} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 + \frac{3\sqrt{7}}{2} a^2$

Выносим общий множитель $\frac{3a^2}{2}$:

$S_{полная} = \frac{3a^2}{2} (\sqrt{3} + \sqrt{7})$

Этот результат можно также записать как $1.5a^2(\sqrt{3} + \sqrt{7})$.

Ответ: $1.5a^2(\sqrt{3} + \sqrt{7})$