Страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

186. В прямом параллелепипеде точка пересечения его диагоналей удалена от плоскости основания на 3 см, а от боковых граней на 2 см и 4 см. Периметр основания равен 30 см. Площадь полной поверхности этого параллелепипеда равна:

1) 260 $cm^2$;

2) 240 $cm^2$;

3) 220 $cm^2$;

4) 208 $cm^2$;

5) 176 $cm^2$.

Дано:

Тип параллелепипеда: прямой.
Расстояние от точки пересечения диагоналей до плоскости основания ($d_h$) = 3 см.
Расстояния от точки пересечения диагоналей до боковых граней ($d_a$, $d_b$) = 2 см и 4 см.
Периметр основания ($P_{осн}$) = 30 см.

Перевод в СИ:

$d_h = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$d_a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$d_b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$P_{осн} = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности параллелепипеда ($S_{полн}$).

Решение:

Точка пересечения диагоналей прямого параллелепипеда является его центром. Расстояние от центра параллелепипеда до плоскости основания равно половине высоты параллелепипеда.
Высота параллелепипеда $h$: $h = 2 \cdot d_h = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$.
Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм. Расстояния от центра параллелепипеда до боковых граней равны половине высот параллелограмма, проведенных к соответствующим сторонам. Пусть $a$ и $b$ - длины сторон основания, а $h_a$ и $h_b$ - высоты параллелограмма, проведенные к сторонам $a$ и $b$ соответственно.
Тогда $h_a/2 = 4 \text{ см}$ и $h_b/2 = 2 \text{ см}$ (или наоборот, выбор не влияет на конечный результат).
Следовательно, высоты основания равны $h_a = 8 \text{ см}$ и $h_b = 4 \text{ см}$.
Площадь основания параллелепипеда $S_{осн}$ может быть выражена как $S_{осн} = a \cdot h_a$ или $S_{осн} = b \cdot h_b$.
Таким образом, $a \cdot h_a = b \cdot h_b$.
$a \cdot 8 = b \cdot 4$.
Отсюда получаем соотношение между сторонами основания: $8a = 4b \Rightarrow 2a = b$.
Периметр основания $P_{осн}$ равен $30 \text{ см}$. Для параллелограмма периметр равен $P_{осн} = 2(a+b)$.
Подставим известное значение периметра и соотношение $b=2a$:
$30 = 2(a + 2a)$.
$30 = 2(3a)$.
$30 = 6a$.
$a = 30 / 6 = 5 \text{ см}$.
Тогда $b = 2a = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.
Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$: $S_{осн} = a \cdot h_a = 5 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 40 \text{ см}^2$.
(Проверка: $S_{осн} = b \cdot h_b = 10 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 40 \text{ см}^2$. Результаты совпадают).
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 30 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 180 \text{ см}^2$.
Площадь полной поверхности $S_{полн}$ параллелепипеда равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности:
$S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок}$.
$S_{полн} = 2 \cdot 40 \text{ см}^2 + 180 \text{ см}^2$.
$S_{полн} = 80 \text{ см}^2 + 180 \text{ см}^2 = 260 \text{ см}^2$.

Ответ: $260 \text{ см}^2$.

187. Основанием наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной, равной $\sqrt{3}$ см. Ортогональной проекцией вершины $A_1$ является точка пересечения медиан основания, а ребро $AA_1$ наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Площадь боковой поверхности этой призмы равна:

1) $3\sqrt{3}$ см$^2$;

2) $(\sqrt{15} + \sqrt{3})$ см$^2$;

3) $\frac{3\sqrt{15}}{2}$ см$^2$;

4) $(\sqrt{6} + \sqrt{15})$ см$^2$;

5) $(\sqrt{5} + \sqrt{2})$ см$^2$.

Дано:

призма $ABC A_1B_1C_1$

основание $ABC$ - равносторонний треугольник

сторона основания $a = \sqrt{3}$ см

ортогональная проекция вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$ - точка $O$ (пересечение медиан)

угол между ребром $AA_1$ и плоскостью основания $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$a = \sqrt{3} \text{ см} = \sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ рад}$

Найти:

площадь боковой поверхности $S_{бок}$

Решение:

по условию, основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = \sqrt{3}$ см.

ортогональная проекция вершины $A_1$ на плоскость основания - точка $O$, которая является точкой пересечения медиан основания. для равностороннего треугольника точка пересечения медиан является также центром описанной и вписанной окружностей, а также центром тяжести.

длина медианы (и высоты) $m$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

подставляем значение $a = \sqrt{3}$ см:

$m = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ см.

точка $O$ делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. таким образом, расстояние от вершины $A$ до центра $O$ равно:

$AO = \frac{2}{3}m = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$ см.

расстояние от центра $O$ до середины стороны (например, до середины $AB$, назовем ее $M$) равно:

$OM = \frac{1}{3}m = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ см.

высота призмы $H$ - это отрезок $A_1O$, так как $A_1O$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. угол между ребром $AA_1$ и плоскостью основания - это угол между $AA_1$ и ее проекцией $AO$ на плоскость основания, то есть $\angle A_1AO = 45^\circ$.

рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1OA$ (прямой угол в $O$).

высота призмы $H = A_1O = AO \cdot \tan(\angle A_1AO)$.

$H = 1 \cdot \tan(45^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$ см.

длина бокового ребра $l = AA_1 = \frac{AO}{\cos(\angle A_1AO)}$.

$l = \frac{1}{\cos(45^\circ)} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ см.

все боковые ребра призмы равны $l = \sqrt{2}$ см.

боковые грани призмы являются параллелограммами. поскольку основание - равносторонний треугольник и проекция верхней вершины ($A_1$) совпадает с центром основания ($O$), все боковые грани конгруэнтны. это следует из равенства расстояний от центра $O$ до середин всех сторон основания ($OM = ON = OP$).

рассмотрим одну из боковых граней, например, $ABB_1A_1$. ее основание $AB = a = \sqrt{3}$ см.

чтобы найти площадь параллелограмма, нам нужна его высота. пусть $M$ - середина стороны $AB$. тогда $OM$ - перпендикуляр к $AB$ в плоскости основания.

по теореме о трех перпендикулярах, если $A_1O \perp \text{плоскость}(ABC)$ и $OM \perp AB$, то $A_1M \perp AB$.

таким образом, $A_1M$ является высотой боковой грани $ABB_1A_1$, опущенной на сторону $AB$.

рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1OM$ (прямой угол в $O$).

по теореме пифагора:

$A_1M^2 = A_1O^2 + OM^2$

$A_1M^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

$A_1M = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

площадь одной боковой грани $S_{грани}$ (параллелограмма) вычисляется как произведение длины основания на высоту:

$S_{грани} = \text{основание} \cdot \text{высота} = AB \cdot A_1M$

$S_{грани} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{3 \cdot 5}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ см$^2$.

поскольку призма имеет 3 боковые грани и они конгруэнтны, общая площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$ см$^2$.

Ответ:

$\frac{3\sqrt{15}}{2} \text{ см}^2$

188. Сколько граней, ребер, вершин имеет:

а) пятиугольная призма;

б) шестиугольная пирамида? Изобразите такие многогранники.

a) пятиугольная призма

Дано
Многогранник: пятиугольная призма
Количество сторон основания (n): $n = 5$

Найти:
Количество граней (F), ребер (E), вершин (V).

Решение
Для любой n-угольной призмы справедливы следующие формулы:
Количество граней: $F = n + 2$.
Количество ребер: $E = 3n$.
Количество вершин: $V = 2n$.
Подставляем значение $n = 5$ для пятиугольной призмы:
$F = 5 + 2 = 7$
$E = 3 \times 5 = 15$
$V = 2 \times 5 = 10$

Ответ: Пятиугольная призма имеет 7 граней, 15 ребер, 10 вершин.

б) шестиугольная пирамида

Дано
Многогранник: шестиугольная пирамида
Количество сторон основания (n): $n = 6$

Найти:
Количество граней (F), ребер (E), вершин (V).

Решение
Для любой n-угольной пирамиды справедливы следующие формулы:
Количество граней: $F = n + 1$.
Количество ребер: $E = 2n$.
Количество вершин: $V = n + 1$.
Подставляем значение $n = 6$ для шестиугольной пирамиды:
$F = 6 + 1 = 7$
$E = 2 \times 6 = 12$
$V = 6 + 1 = 7$

Ответ: Шестиугольная пирамида имеет 7 граней, 12 ребер, 7 вершин.

Примечание: Запрос на изображение многогранников не может быть выполнен в текстовом формате.

189. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб, в котором $\angle BAD = 60^\circ$. Высота призмы равна $8$ см. Расстояние от вершины $B_1$ до прямой $AC$ равно $10$ см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Дано:

Призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - прямая.
Основание $ABCD$ - ромб.
Угол $\angle BAD = 60^\circ$.
Высота призмы $H = 8$ см.
Расстояние от вершины $B_1$ до прямой $AC$: $d(B_1, AC) = 10$ см.

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$.

Решение:

1. Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ - периметр основания, $H$ - высота призмы.
2. Основанием призмы является ромб $ABCD$. Периметр ромба $P_{осн} = 4a$, где $a$ - длина стороны ромба. Таким образом, $S_{бок} = 4aH$. Нам известна высота $H = 8$ см, необходимо найти сторону ромба $a$.
3. Рассмотрим расстояние от вершины $B_1$ до прямой $AC$. Пусть $M$ - точка на прямой $AC$ такая, что $B_1M \perp AC$. По условию, $B_1M = 10$ см.
4. Так как призма прямая, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$.
5. Проведем перпендикуляр $BM'$ из вершины $B$ к прямой $AC$ в плоскости основания. По теореме о трех перпендикулярах, если $BB_1 \perp \text{плоскости } ABCD$ и $BM' \perp AC$, то $B_1M' \perp AC$. Следовательно, расстояние от $B_1$ до $AC$ это и есть $B_1M'$, т.е. $B_1M' = 10$ см.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1BM'$. Угол $\angle B_1BM'$ равен $90^\circ$. Известны гипотенуза $B_1M' = 10$ см и катет $BB_1 = H = 8$ см. По теореме Пифагора найдем катет $BM'$:
$BM'^2 = B_1M'^2 - BB_1^2$
$BM'^2 = 10^2 - 8^2$
$BM'^2 = 100 - 64$
$BM'^2 = 36$
$BM' = \sqrt{36} = 6$ см.
7. Рассмотрим ромб $ABCD$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $BO \perp AC$. Следовательно, перпендикуляр $BM'$ из вершины $B$ к диагонали $AC$ совпадает с отрезком $BO$. Таким образом, $BO = 6$ см.
8. В ромбе $ABCD$ диагональ $BD$ равна $2 \cdot BO = 2 \cdot 6 = 12$ см.
9. Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $ABCD$ - ромб, $AB = AD$. Угол $\angle BAD = 60^\circ$. Таким образом, $\triangle ABD$ - равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$. Это означает, что $\triangle ABD$ является равносторонним треугольником. Следовательно, $AB = AD = BD$.
10. Мы нашли, что $BD = 12$ см. Значит, сторона ромба $a = AB = 12$ см.
11. Теперь можем найти периметр основания: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 12 = 48$ см.
12. Вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 48 \cdot 8 = 384$ см$^2$.

Ответ:

384 см$^2$

190. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны 10 м и 9 м, а ее высота равна 0,5 м. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дано:

Правильная шестиугольная усеченная пирамида.

Сторона большего основания: $a_1 = 10 \text{ м}$

Сторона меньшего основания: $a_2 = 9 \text{ м}$

Высота пирамиды: $h = 0.5 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

Все данные уже представлены в метрах (система СИ), поэтому перевод не требуется.

$a_1 = 10 \text{ м}$

$a_2 = 9 \text{ м}$

$h = 0.5 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности: $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна сумме площадей всех ее боковых граней. Каждая боковая грань является равнобочной трапецией. Для правильной шестиугольной усеченной пирамиды боковые грани представляют собой 6 равных трапеций. Площадь одной трапеции находится по формуле: $S_{трапеции} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot l$, где $l$ - апофема (высота) боковой грани.

Тогда общая площадь боковой поверхности будет: $S_{бок} = n \cdot \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot l$, где $n$ - количество сторон основания (для шестиугольника $n=6$).

$S_{бок} = 6 \cdot \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot l = 3(a_1 + a_2)l$

Для нахождения апофемы $l$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, разностью радиусов вписанных окружностей оснований $r_1 - r_2$ (апофемы оснований) и апофемой боковой грани $l$.

Радиус вписанной окружности (апофема) правильного шестиугольника со стороной $a$ равен $r = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Апофема большего основания: $r_1 = a_1 \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ м}$.

Апофема меньшего основания: $r_2 = a_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4.5\sqrt{3} \text{ м}$.

Разность апофем оснований: $r_1 - r_2 = 5\sqrt{3} - 4.5\sqrt{3} = 0.5\sqrt{3} \text{ м}$.

По теореме Пифагора для нахождения апофемы боковой грани $l$:

$l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$

$l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$

Подставляем значения:

$l = \sqrt{(0.5)^2 + (0.5\sqrt{3})^2}$

$l = \sqrt{0.25 + (0.25 \cdot 3)}$

$l = \sqrt{0.25 + 0.75}$

$l = \sqrt{1}$

$l = 1 \text{ м}$

Теперь подставим найденное значение $l$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 3(a_1 + a_2)l$

$S_{бок} = 3(10 + 9) \cdot 1$

$S_{бок} = 3(19) \cdot 1$

$S_{бок} = 57 \text{ м}^2$

Ответ:

57 м².

191. В наклонном параллелепипеде четыре грани являются квадратами со сторонами 8 см, а его боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Дано:

Сторона квадратов: $a = 8 \text{ см}$
Угол наклона бокового ребра к плоскости основания: $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Площадь полной поверхности параллелепипеда: $S_{полн}$

Решение:

Параллелепипед имеет 6 граней: 2 основания и 4 боковые грани. Условие "четыре грани являются квадратами" в контексте наклонного параллелепипеда, когда угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет $60^\circ$, разрешается следующим образом: две из этих четырех граней - это основания, и две другие - противоположные боковые грани.

Если две грани являются квадратами со стороной $8 \text{ см}$, это означает, что основания параллелепипеда являются квадратами со стороной $a = 8 \text{ см}$.

Площадь одного основания: $S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2$.

Так как грани являются квадратами, это также означает, что боковое ребро параллелепипеда равно стороне основания, то есть $l = a = 8 \text{ см}$.

Две противоположные боковые грани также являются квадратами со стороной $8 \text{ см}$. Это означает, что боковые ребра перпендикулярны сторонам основания, с которыми они образуют эти грани. Пусть основание параллелепипеда - квадрат $ABCD$. Боковое ребро $AA'$ имеет длину $l = 8 \text{ см}$. Угол наклона бокового ребра $AA'$ к плоскости основания $ABCD$ равен $\alpha = 60^\circ$. Высота параллелепипеда $h = l \sin(\alpha) = 8 \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}$. Длина проекции бокового ребра на плоскость основания $l_p = l \cos(\alpha) = 8 \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}$.

Расположим основание $ABCD$ в координатной плоскости $XY$. Пусть $A=(0,0,0)$, $B=(8,0,0)$, $D=(0,8,0)$. Вершина $A'$ имеет координаты $(x_{A'}, y_{A'}, h)$. Длина проекции $AH = \sqrt{x_{A'}^2 + y_{A'}^2} = l_p = 4$. Таким образом, $x_{A'}^2 + y_{A'}^2 = 4^2 = 16$.

Для того чтобы боковая грань $AA'B'B$ была квадратом, вектор $\vec{AA'}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{AB}$. $\vec{AB} = (8,0,0)$. $\vec{AA'} = (x_{A'}, y_{A'}, 4\sqrt{3})$. Скалярное произведение: $\vec{AA'} \cdot \vec{AB} = 8x_{A'} + 0 \cdot y_{A'} + 0 \cdot 4\sqrt{3} = 8x_{A'}$. Если $\vec{AA'} \perp \vec{AB}$, то $8x_{A'} = 0$, что означает $x_{A'} = 0$.

Из $x_{A'}^2 + y_{A'}^2 = 16$ и $x_{A'} = 0$ получаем $0^2 + y_{A'}^2 = 16$, то есть $y_{A'} = \pm 4$. Возьмем $y_{A'} = 4$. Таким образом, координаты $A'=(0, 4, 4\sqrt{3})$.

Теперь определим площади всех граней:

1. Два основания $ABCD$ и $A'B'C'D'$ являются квадратами со стороной $8 \text{ см}$.
2. $S_{осн1} = S_{осн2} = 8^2 = 64 \text{ см}^2$. (Две квадратные грани)
3. Боковая грань $AA'B'B$. Стороны $AB=8 \text{ см}$ и $AA'=8 \text{ см}$. Угол между $\vec{AA'}$ и $\vec{AB}$ равен $90^\circ$ (так как $x_{A'}=0$).
4. $S_{AA'B'B} = 8 \times 8 = 64 \text{ см}^2$. (Третья квадратная грань)
5. Боковая грань $CC'D'D$. Она противоположна $AA'B'B$, поэтому также является квадратом.
6. $S_{CC'D'D} = 64 \text{ см}^2$. (Четвертая квадратная грань)
7. Боковая грань $ADDA'$. Стороны $AD=8 \text{ см}$ и $AA'=8 \text{ см}$.
8. Для нахождения площади этой грани, найдем косинус угла $\angle DAA'$ между векторами $\vec{AD}=(0,8,0)$ и $\vec{AA'}=(0,4,4\sqrt{3})$.
9. $\cos(\angle DAA') = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{AA'}}{|\vec{AD}| \cdot |\vec{AA'}|} = \frac{(0 \cdot 0) + (8 \cdot 4) + (0 \cdot 4\sqrt{3})}{8 \cdot 8} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}$.
10. Следовательно, $\angle DAA' = 60^\circ$. Эта грань является ромбом (параллелограммом с равными сторонами) с углом $60^\circ$.
11. $S_{ADDA'} = AD \cdot AA' \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3} \text{ см}^2$.
12. Боковая грань $BCC'B'$. Она противоположна $ADDA'$, поэтому также является ромбом с углом $60^\circ$.
13. $S_{BCC'B'} = 32\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Полная площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех шести граней: $S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{AA'B'B} + S_{CC'D'D} + S_{ADDA'} + S_{BCC'B'}$ $S_{полн} = 64 + 64 + 64 + 64 + 32\sqrt{3} + 32\sqrt{3}$ $S_{полн} = 4 \cdot 64 + 2 \cdot 32\sqrt{3}$ $S_{полн} = 256 + 64\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $256 + 64\sqrt{3} \text{ см}^2$.

192. Каждый плоский угол при вершине P правильной пирамиды PABCD равен $60^\circ$. Найдите:

а) $\angle APC$;

б) апофему пирамиды, если $AB = 4 \, \text{см}$.

Дано:

Пирамида $PABCD$ - правильная.

Каждый плоский угол при вершине $P$ равен $60^\circ$ ($\angle APB = \angle BPC = \angle CPD = \angle DPA = 60^\circ$).

Сторона основания $AB = 4$ см.

Перевод в СИ:

$AB = 4$ см $= 0.04$ м.

Найти:

а) $\angle APC$

б) Апофема пирамиды ($h_a$)

Решение

а) угол $APC$

Так как пирамида $PABCD$ является правильной, все ее боковые ребра равны: $PA = PB = PC = PD$.

По условию, каждый плоский угол при вершине $P$ равен $60^\circ$. Рассмотрим боковую грань, например, $\triangle APB$. В этом треугольнике $PA = PB$ (равнобедренный треугольник) и $\angle APB = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике $180^\circ$, поэтому углы при основании равны: $\angle PAB = \angle PBA = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$.

Таким образом, $\triangle APB$ является равносторонним треугольником. Отсюда следует, что длина бокового ребра равна длине стороны основания: $PA = PB = AB = 4$ см.

Аналогично, все боковые грани $\triangle BPC$, $\triangle CPD$, $\triangle DPA$ также являются равносторонними треугольниками со стороной $4$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle APC$. Его стороны $PA = 4$ см и $PC = 4$ см.

Сторона $AC$ является диагональю основания $ABCD$. Поскольку пирамида правильная, ее основание $ABCD$ - это квадрат. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $a\sqrt{2}$. В нашем случае, сторона квадрата $AB = 4$ см, следовательно, $AC = AB\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь у нас есть треугольник $\triangle APC$ со сторонами $PA = 4$ см, $PC = 4$ см и $AC = 4\sqrt{2}$ см.

Для нахождения угла $\angle APC$ воспользуемся теоремой косинусов для $\triangle APC$:

$AC^2 = PA^2 + PC^2 - 2 \cdot PA \cdot PC \cdot \cos(\angle APC)$

Подставим известные значения:

$(4\sqrt{2})^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(\angle APC)$

$16 \cdot 2 = 16 + 16 - 32 \cdot \cos(\angle APC)$

$32 = 32 - 32 \cdot \cos(\angle APC)$

$0 = -32 \cdot \cos(\angle APC)$

$\cos(\angle APC) = 0$

Из этого следует, что $\angle APC = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

б) апофему пирамиды, если $AB = 4$ см.

Апофема правильной пирамиды - это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания.

Рассмотрим любую боковую грань, например, $\triangle APB$. Как мы установили в пункте (а), $\triangle APB$ является равносторонним треугольником со стороной $AB = 4$ см.

Пусть $M$ - середина стороны $AB$. Тогда отрезок $PM$ является апофемой пирамиды, поскольку он является высотой равностороннего треугольника $\triangle APB$, проведенной к стороне $AB$.

Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для $\triangle APB$ со стороной $a = AB = 4$ см, апофема $h_a = PM$ будет:

$h_a = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Все апофемы правильной пирамиды равны.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см

193. В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит ее высоту в отношении $2:3$ (считая от вершины). Найдите площадь сечения, если известно, что оно меньше площади основания на $84\text{ см}^2$.

Дано:

Отношение, в котором сечение делит высоту пирамиды (считая от вершины): $h : (H - h) = 2 : 3$, где $h$ - высота малой пирамиды (до сечения), $H$ - высота большой пирамиды (до основания).

Разность площадей основания и сечения: $S_{осн} - S_{сеч} = 84 \text{ см}^2$.

Перевод в СИ:

Все величины уже в согласованных единицах (см$^2$), перевод в СИ (м$^2$) не требуется для решения задачи.

Найти:

Площадь сечения ($S_{сеч}$).

Решение:

Поскольку сечение параллельно основанию, малая пирамида (от вершины до сечения) подобна большой пирамиде. Отношение их высот:$\frac{h}{H} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их линейных размеров (в данном случае, высот):$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{h}{H}\right)^2$$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{2}{5}\right)^2$$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \frac{4}{25}$

Из этого соотношения выразим $S_{осн}$ через $S_{сеч}$:$S_{осн} = \frac{25}{4} S_{сеч}$

Теперь используем второе условие из дано: $S_{осн} - S_{сеч} = 84$.Подставим выражение для $S_{осн}$:$\frac{25}{4} S_{сеч} - S_{сеч} = 84$

Приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{25}{4} S_{сеч} - \frac{4}{4} S_{сеч} = 84$$\frac{25 - 4}{4} S_{сеч} = 84$$\frac{21}{4} S_{сеч} = 84$

Вычислим $S_{сеч}$:$S_{сеч} = 84 \times \frac{4}{21}$$S_{сеч} = \frac{84}{21} \times 4$$S_{сеч} = 4 \times 4$$S_{сеч} = 16$

Ответ:

Площадь сечения равна $16 \text{ см}^2$.