Страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что называется правильным многогранником?

2. Сколько всего видов правильных многогранников существует?
Как они называются?

1. Что называется правильным многогранником?

Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, удовлетворяющий двум основным условиям:
1. Все его грани являются равными (конгруэнтными) между собой правильными многоугольниками. Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.
2. В каждой вершине многогранника сходится одинаковое число граней (и, соответственно, рёбер).
Из этих условий следует, что все многогранные углы при вершинах и все двугранные углы при рёбрах правильного многогранника также равны. Такие многогранники обладают высокой степенью симметрии.

Ответ: Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, все грани которого — равные правильные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одинаковое число граней.

2. Сколько всего видов правильных многогранников существует? Как они называются?

Существует всего пять видов правильных выпуклых многогранников, которые также называют Платоновыми телами. Ограниченность их числа можно доказать математически. Сумма плоских углов граней, сходящихся в одной вершине многогранника, должна быть меньше $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан), иначе фигура будет плоской или «вывернутой».
Пусть каждая грань — это правильный $n$-угольник, а в каждой вершине сходится $k$ граней. Угол правильного $n$-угольника равен $\alpha = \frac{180^\circ(n-2)}{n}$. Тогда условие существования многогранника: $k \cdot \alpha < 360^\circ$, или $k \cdot \frac{180^\circ(n-2)}{n} < 360^\circ$, что упрощается до $k(n-2) < 2n$.
Учитывая, что $n \ge 3$ (многоугольник) и $k \ge 3$ (вершина многогранника), целочисленные решения этого неравенства дают всего пять возможных комбинаций $(n, k)$. Вот эти пять многогранников:

Тетраэдр (четырёхгранник): состоит из 4 граней, которые являются правильными треугольниками. В каждой вершине сходится по 3 грани. Имеет 4 вершины и 6 рёбер.

Гексаэдр (куб, шестигранник): состоит из 6 граней-квадратов. В каждой вершине сходится по 3 грани. Имеет 8 вершин и 12 рёбер.

Октаэдр (восьмигранник): состоит из 8 граней-треугольников. В каждой вершине сходится по 4 грани. Имеет 6 вершин и 12 рёбер.

Додекаэдр (двенадцатигранник): состоит из 12 граней, которые являются правильными пятиугольниками. В каждой вершине сходится по 3 грани. Имеет 20 вершин и 30 рёбер.

Икосаэдр (двадцатигранник): состоит из 20 граней-треугольников. В каждой вершине сходится по 5 граней. Имеет 12 вершин и 30 рёбер.

Ответ: Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

135. Верно ли, что правильным многогранником является многогранник, в котором все грани:

а) равны;

б) правильные многоугольники?

а) равны;

Нет, это утверждение неверно.

Для того чтобы многогранник был правильным, недостаточно, чтобы все его грани были просто равны (конгруэнтны). Помимо этого, все грани должны быть правильными многоугольниками (то есть иметь равные стороны и равные углы), и одинаковое количество граней должно сходиться в каждой вершине. Например, ромбододекаэдр имеет все 12 граней конгруэнтными ромбами, но ромб не является правильным многоугольником (если только это не квадрат). Кроме того, в ромбодокаэдре есть вершины двух типов: в одних сходятся 3 грани, в других — 4, что также не соответствует условию правильного многогранника.

Ответ: Нет

б) правильные многоугольники?

Нет, это утверждение неверно.

Для того чтобы многогранник был правильным, недостаточно, чтобы все его грани были правильными многоугольниками. Помимо этого, все грани должны быть конгруэнтными между собой, и одинаковое количество граней должно сходиться в каждой вершине. Например, усеченный октаэдр является многогранником, грани которого (квадраты и правильные шестиугольники) являются правильными многоугольниками. Однако эти грани не являются конгруэнтными между собой (квадраты отличаются от шестиугольников), поэтому усеченный октаэдр не является правильным многогранником.

Ответ: Нет

136. Изобразите многогранник, составленный из двух равных правильных тетраэдров. Объясните, почему он не является правильным многогранником.

Решение

Изобразите многогранник, составленный из двух равных правильных тетраэдров.

Многогранник, составленный из двух равных правильных тетраэдров, соединенных одной гранью (их общим основанием), называется треугольной бипирамидой. Он имеет 6 граней (все грани являются равносторонними треугольниками), 9 ребер и 5 вершин. Две из этих вершин являются вершинами-апексами (бывшие вершины тетраэдров, не принадлежавшие общей грани), а три другие вершины образуют "экватор" (вершины общей грани).

Ответ:

Объясните, почему он не является правильным многогранником.

Правильный многогранник (платоново тело) должен удовлетворять двум условиям:
1. Все его грани являются конгруэнтными правильными многоугольниками.
2. В каждой вершине сходится одинаковое количество граней (или одинаковое количество ребер).

Для многогранника, образованного двумя правильными тетраэдрами (треугольной бипирамиды), первое условие выполняется: все 6 его граней являются равносторонними треугольниками. Однако второе условие не выполняется:
• В двух вершинах-апексах (верхней и нижней) сходится по 3 грани.
• В трех вершинах, образующих "экватор" (которые были вершинами общей грани), сходится по 4 грани.

Поскольку количество граней, сходящихся в каждой вершине, не является одинаковым (3 грани в одних вершинах и 4 грани в других), этот многогранник не является правильным. Кроме того, неравны и его двугранные углы: углы при ребрах, исходящих из апексов, равны двугранным углам правильного тетраэдра ($ \arccos(1/3) $), а углы при ребрах "экватора" отличаются.

Ответ:

137. Является ли правильным гексаэдром прямоугольный параллелепипед, если:

a) его диагональное сечение – квадрат;

б) в нем равны диагонали трех граней, выходящие из одной вершины?

а) его диагональное сечение – квадрат

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями $a$, $b$ и $c$. Диагональное сечение, проходящее через две параллельные боковые грани (например, грани, перпендикулярные ребру $c$), представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника будет равна ребру $c$, а другая — диагонали основания, образованного сторонами $a$ и $b$. Длина диагонали основания определяется по теореме Пифагора: $d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2}$. Для того чтобы это диагональное сечение было квадратом, его стороны должны быть равны, то есть $c = d_{осн}$. Таким образом, мы имеем условие $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Это условие не подразумевает, что все измерения параллелепипеда $a$, $b$ и $c$ должны быть равны. Например, если $a=3$, $b=4$, то $d_{осн} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Если в этом случае $c=5$, то диагональное сечение будет квадратом со стороной $5$. Однако сам прямоугольный параллелепипед с измерениями $3 \times 4 \times 5$ не является кубом (правильным гексаэдром), так как его измерения не равны. Следовательно, условие, что диагональное сечение является квадратом, недостаточно для того, чтобы прямоугольный параллелепипед был правильным гексаэдром.

Ответ: Нет.

б) в нем равны диагонали трех граней, выходящие из одной вершины?

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$. Из любой вершины прямоугольного параллелепипеда выходят три ребра, длины которых соответствуют измерениям $a$, $b$ и $c$. Эти ребра образуют три грани, исходящие из данной вершины. Диагонали этих трех граней можно выразить следующими формулами, используя теорему Пифагора: 1. Диагональ грани со сторонами $a$ и $b$: $d_{ab} = \sqrt{a^2 + b^2}$. 2. Диагональ грани со сторонами $b$ и $c$: $d_{bc} = \sqrt{b^2 + c^2}$. 3. Диагональ грани со сторонами $a$ и $c$: $d_{ac} = \sqrt{a^2 + c^2}$. По условию задачи, эти три диагонали равны между собой: $d_{ab} = d_{bc} = d_{ac}$ Подставляя формулы: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + c^2}$ Возведем все части этого равенства в квадрат, чтобы избавиться от корней: $a^2 + b^2 = b^2 + c^2 = a^2 + c^2$ Рассмотрим первую часть равенства: $a^2 + b^2 = b^2 + c^2$. Вычитая $b^2$ из обеих частей, получаем: $a^2 = c^2$. Так как $a$ и $c$ являются длинами сторон и, следовательно, положительными величинами, из $a^2 = c^2$ следует $a = c$. Рассмотрим вторую часть равенства: $b^2 + c^2 = a^2 + c^2$. Вычитая $c^2$ из обеих частей, получаем: $b^2 = a^2$. Аналогично, так как $a$ и $b$ — положительные величины, из $b^2 = a^2$ следует $b = a$. Объединяя полученные результаты $a = c$ и $b = a$, мы приходим к выводу, что $a = b = c$. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, является кубом. Куб по определению является правильным гексаэдром. Таким образом, условие, что диагонали трех граней, выходящие из одной вершины, равны, достаточно для того, чтобы прямоугольный параллелепипед был правильным гексаэдром.

Ответ: Да.

138. Чему равна сумма плоских углов при каждой вершине правильного:

а) тетраэдра;

б) гексаэдра;

в) октаэдра;

г) икосаэдра;

д) додекаэдра?

a) тетраэдра

Дано: правильный тетраэдр.

Найти: сумма плоских углов при каждой вершине.

Решение: Правильный тетраэдр является одним из платоновых тел, грани которого - правильные треугольники. В каждой вершине тетраэдра сходятся 3 грани. Внутренний угол правильного треугольника равен $60^\circ$. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине тетраэдра равна $3 \times 60^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

б) гексаэдра

Дано: правильный гексаэдр (куб).

Найти: сумма плоских углов при каждой вершине.

Решение: Правильный гексаэдр, или куб, имеет грани в форме квадратов. В каждой вершине куба сходятся 3 грани. Внутренний угол квадрата равен $90^\circ$. Таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине гексаэдра равна $3 \times 90^\circ = 270^\circ$.

Ответ: $270^\circ$.

в) октаэдра

Дано: правильный октаэдр.

Найти: сумма плоских углов при каждой вершине.

Решение: Правильный октаэдр имеет грани в форме правильных треугольников. В каждой вершине октаэдра сходятся 4 грани. Внутренний угол правильного треугольника равен $60^\circ$. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине октаэдра равна $4 \times 60^\circ = 240^\circ$.

Ответ: $240^\circ$.

г) икосаэдра

Дано: правильный икосаэдр.

Найти: сумма плоских углов при каждой вершине.

Решение: Правильный икосаэдр имеет грани в форме правильных треугольников. В каждой вершине икосаэдра сходятся 5 граней. Внутренний угол правильного треугольника равен $60^\circ$. Таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине икосаэдра равна $5 \times 60^\circ = 300^\circ$.

Ответ: $300^\circ$.

д) додекаэдра

Дано: правильный додекаэдр.

Найти: сумма плоских углов при каждой вершине.

Решение: Правильный додекаэдр имеет грани в форме правильных пятиугольников. В каждой вершине додекаэдра сходятся 3 грани. Внутренний угол правильного пятиугольника вычисляется по формуле для правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. Для пятиугольника ($n=5$): $\alpha = \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = \frac{3 \times 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине додекаэдра равна $3 \times 108^\circ = 324^\circ$.

Ответ: $324^\circ$.

139. Можно ли из куска проволоки длиной 1 м изготовить каркасную модель:

а) куба с ребром 1 дм;

б) правильного тетраэдра с ребром 1,5 дм;

в) правильного октаэдра с ребром 0,5 дм?

Дано

Длина куска проволоки: $L_{общая} = 1 \text{ м}$

Перевод в СИ

Длина куска проволоки: $L_{общая} = 1 \text{ м}$

Найти

Возможность изготовления каркасных моделей.

Решение

Для решения задачи переведем общую длину проволоки из метров в дециметры, так как размеры ребер в подпунктах даны в дециметрах:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Таким образом, имеющаяся длина проволоки составляет $L_{общая} = 10 \text{ дм}$.

а) куба с ребром 1 дм

Дано

Длина ребра куба: $a = 1 \text{ дм}$

Перевод в СИ

Длина ребра куба: $a = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

Найти

Необходимая длина проволоки для куба ($L_{куб}$).

Решение

Куб имеет 12 ребер одинаковой длины. Чтобы изготовить каркасную модель куба, потребуется проволока длиной, равной сумме длин всех его ребер.

Формула для расчета необходимой длины проволоки для куба: $L_{куб} = 12 \cdot a$.

Подставим значение $a$:

$L_{куб} = 12 \cdot 1 \text{ дм} = 12 \text{ дм}$

Сравним требуемую длину проволоки с имеющейся:

$L_{куб} = 12 \text{ дм}$

$L_{общая} = 10 \text{ дм}$

Поскольку $12 \text{ дм} > 10 \text{ дм}$, проволоки длиной 1 м недостаточно для изготовления каркасной модели куба с ребром 1 дм.

Ответ: Нельзя.

б) правильного тетраэдра с ребром 1,5 дм

Дано

Длина ребра тетраэдра: $a = 1,5 \text{ дм}$

Перевод в СИ

Длина ребра тетраэдра: $a = 1,5 \text{ дм} = 0.15 \text{ м}$

Найти

Необходимая длина проволоки для тетраэдра ($L_{тетраэдр}$).

Решение

Правильный тетраэдр имеет 6 ребер одинаковой длины. Чтобы изготовить каркасную модель тетраэдра, потребуется проволока длиной, равной сумме длин всех его ребер.

Формула для расчета необходимой длины проволоки для тетраэдра: $L_{тетраэдр} = 6 \cdot a$.

Подставим значение $a$:

$L_{тетраэдр} = 6 \cdot 1,5 \text{ дм} = 9 \text{ дм}$

Сравним требуемую длину проволоки с имеющейся:

$L_{тетраэдр} = 9 \text{ дм}$

$L_{общая} = 10 \text{ дм}$

Поскольку $9 \text{ дм} < 10 \text{ дм}$, проволоки длиной 1 м достаточно для изготовления каркасной модели правильного тетраэдра с ребром 1,5 дм.

Ответ: Можно.

в) правильного октаэдра с ребром 0,5 дм

Дано

Длина ребра октаэдра: $a = 0,5 \text{ дм}$

Перевод в СИ

Длина ребра октаэдра: $a = 0,5 \text{ дм} = 0.05 \text{ м}$

Найти

Необходимая длина проволоки для октаэдра ($L_{октаэдр}$).

Решение

Правильный октаэдр имеет 12 ребер одинаковой длины. Чтобы изготовить каркасную модель октаэдра, потребуется проволока длиной, равной сумме длин всех его ребер.

Формула для расчета необходимой длины проволоки для октаэдра: $L_{октаэдр} = 12 \cdot a$.

Подставим значение $a$:

$L_{октаэдр} = 12 \cdot 0,5 \text{ дм} = 6 \text{ дм}$

Сравним требуемую длину проволоки с имеющейся:

$L_{октаэдр} = 6 \text{ дм}$

$L_{общая} = 10 \text{ дм}$

Поскольку $6 \text{ дм} < 10 \text{ дм}$, проволоки длиной 1 м достаточно для изготовления каркасной модели правильного октаэдра с ребром 0,5 дм.

Ответ: Можно.

140. Из деревянного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выпилена пирамида $D_1AB_1C$.

Найдите отношение площадей полных поверхностей этих куба

и пирамиды.

Дано:

Деревянный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Из куба выпилена пирамида $D_1AB_1C$.

Поскольку числовых значений не дано, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Отношение площадей полных поверхностей куба и пирамиды, т.е. $\frac{S_{\text{куба}}}{S_{\text{пирамиды}}}$.

Решение:

Пусть сторона куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $a$.

Площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле $S_{\text{куба}} = 6a^2$.

Рассмотрим пирамиду $D_1AB_1C$. Ее вершинами являются вершины куба: $D_1$, $A$, $B_1$, $C$.

Найдем длины ребер пирамиды. Все ребра пирамиды являются диагоналями граней куба:

Ребро $AD_1$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. Его длина $AD_1 = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Ребро $AB_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. Его длина $AB_1 = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Ребро $AC$ является диагональю грани $ABCD$. Его длина $AC = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Ребро $D_1B_1$ является диагональю грани $A_1B_1C_1D_1$. Его длина $D_1B_1 = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Ребро $D_1C$ является диагональю грани $CDD_1C_1$. Его длина $D_1C = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Ребро $B_1C$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Его длина $B_1C = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Все шесть ребер пирамиды имеют одинаковую длину $L = a\sqrt{2}$. Это означает, что пирамида $D_1AB_1C$ является правильным тетраэдром.

Полная поверхность правильного тетраэдра состоит из четырех равных правильных (равносторонних) треугольников. Площадь одного такого равностороннего треугольника со стороной $L$ равна $S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4}L^2$.

Для нашей пирамиды $L = a\sqrt{2}$, поэтому площадь каждой грани равна $S_{\text{грани}} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(2a^2) = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2$.

Полная площадь поверхности пирамиды $S_{\text{пирамиды}}$ равна сумме площадей четырех ее граней: $S_{\text{пирамиды}} = 4 \times S_{\text{грани}} = 4 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\right) = 2\sqrt{3}a^2$.

Теперь найдем отношение площадей полных поверхностей куба и пирамиды:

$\frac{S_{\text{куба}}}{S_{\text{пирамиды}}} = \frac{6a^2}{2\sqrt{3}a^2} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$.

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Ответ:

$\sqrt{3}$.

141. В правильном многограннике 8 граней. Найдите:

а) угол между двумя его ребрами, выходящими из одной вершины;

б) косинус двугранного угла при его ребре.

Дано:

Правильный многогранник с $F = 8$ гранями.

Для правильного многогранника с 8 гранями (октаэдра):

• Тип граней: правильные треугольники, поэтому число сторон у каждой грани $p=3$.
• Число граней, сходящихся в одной вершине: $q=4$.

Найти:

a) Угол между двумя его ребрами, выходящими из одной вершины.

b) Косинус двугранного угла при его ребре.

Решение:

В условии задачи указано, что многогранник является правильным и имеет 8 граней. Единственный правильный многогранник с 8 гранями - это октаэдр.

a) угол между двумя его ребрами, выходящими из одной вершины;

Грани октаэдра представляют собой правильные треугольники. Из каждой вершины октаэдра выходят 4 ребра, которые являются сторонами этих правильных треугольников. Угол между любыми двумя смежными ребрами, выходящими из одной вершины, является углом грани. Так как грани являются правильными треугольниками, все их внутренние углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол между двумя ребрами, выходящими из одной вершины, равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) косинус двугранного угла при его ребре.

Для любого правильного многогранника двугранный угол $\theta$ (угол между двумя смежными гранями) может быть вычислен по формуле, связывающей его с числом сторон грани $p$ и числом граней, сходящихся в одной вершине $q$:

$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}$

Для октаэдра $p=3$ (правильные треугольники) и $q=4$ (4 грани сходятся в каждой вершине).

Подставим эти значения в формулу:

$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\cos(\pi/4)}{\sin(\pi/3)}$

Известно, что:

$\cos(\pi/4) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\pi/3) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти числовые значения:

$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Теперь нам нужно найти $\cos \theta$. Используем тригонометрическое тождество $\cos \theta = 1 - 2\sin^2(\theta/2)$:

$\cos \theta = 1 - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2$

$\cos \theta = 1 - 2\left(\frac{2}{3}\right)$

$\cos \theta = 1 - \frac{4}{3}$

$\cos \theta = -\frac{1}{3}$

Ответ: $ -\frac{1}{3}$