Вопросы?, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что называется правильным многогранником?

2. Сколько всего видов правильных многогранников существует?
Как они называются?

1. Что называется правильным многогранником?

Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, удовлетворяющий двум основным условиям:
1. Все его грани являются равными (конгруэнтными) между собой правильными многоугольниками. Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.
2. В каждой вершине многогранника сходится одинаковое число граней (и, соответственно, рёбер).
Из этих условий следует, что все многогранные углы при вершинах и все двугранные углы при рёбрах правильного многогранника также равны. Такие многогранники обладают высокой степенью симметрии.

Ответ: Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, все грани которого — равные правильные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одинаковое число граней.

2. Сколько всего видов правильных многогранников существует? Как они называются?

Существует всего пять видов правильных выпуклых многогранников, которые также называют Платоновыми телами. Ограниченность их числа можно доказать математически. Сумма плоских углов граней, сходящихся в одной вершине многогранника, должна быть меньше $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан), иначе фигура будет плоской или «вывернутой».
Пусть каждая грань — это правильный $n$-угольник, а в каждой вершине сходится $k$ граней. Угол правильного $n$-угольника равен $\alpha = \frac{180^\circ(n-2)}{n}$. Тогда условие существования многогранника: $k \cdot \alpha < 360^\circ$, или $k \cdot \frac{180^\circ(n-2)}{n} < 360^\circ$, что упрощается до $k(n-2) < 2n$.
Учитывая, что $n \ge 3$ (многоугольник) и $k \ge 3$ (вершина многогранника), целочисленные решения этого неравенства дают всего пять возможных комбинаций $(n, k)$. Вот эти пять многогранников:

Тетраэдр (четырёхгранник): состоит из 4 граней, которые являются правильными треугольниками. В каждой вершине сходится по 3 грани. Имеет 4 вершины и 6 рёбер.

Гексаэдр (куб, шестигранник): состоит из 6 граней-квадратов. В каждой вершине сходится по 3 грани. Имеет 8 вершин и 12 рёбер.

Октаэдр (восьмигранник): состоит из 8 граней-треугольников. В каждой вершине сходится по 4 грани. Имеет 6 вершин и 12 рёбер.

Додекаэдр (двенадцатигранник): состоит из 12 граней, которые являются правильными пятиугольниками. В каждой вершине сходится по 3 грани. Имеет 20 вершин и 30 рёбер.

Икосаэдр (двадцатигранник): состоит из 20 граней-треугольников. В каждой вершине сходится по 5 граней. Имеет 12 вершин и 30 рёбер.

Ответ: Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.