Номер 140, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

140. Из деревянного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выпилена пирамида $D_1AB_1C$.

Найдите отношение площадей полных поверхностей этих куба

и пирамиды.

Дано:

Деревянный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Из куба выпилена пирамида $D_1AB_1C$.

Поскольку числовых значений не дано, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Отношение площадей полных поверхностей куба и пирамиды, т.е. $\frac{S_{\text{куба}}}{S_{\text{пирамиды}}}$.

Решение:

Пусть сторона куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $a$.

Площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле $S_{\text{куба}} = 6a^2$.

Рассмотрим пирамиду $D_1AB_1C$. Ее вершинами являются вершины куба: $D_1$, $A$, $B_1$, $C$.

Найдем длины ребер пирамиды. Все ребра пирамиды являются диагоналями граней куба:

Ребро $AD_1$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. Его длина $AD_1 = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Ребро $AB_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. Его длина $AB_1 = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Ребро $AC$ является диагональю грани $ABCD$. Его длина $AC = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Ребро $D_1B_1$ является диагональю грани $A_1B_1C_1D_1$. Его длина $D_1B_1 = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Ребро $D_1C$ является диагональю грани $CDD_1C_1$. Его длина $D_1C = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Ребро $B_1C$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Его длина $B_1C = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Все шесть ребер пирамиды имеют одинаковую длину $L = a\sqrt{2}$. Это означает, что пирамида $D_1AB_1C$ является правильным тетраэдром.

Полная поверхность правильного тетраэдра состоит из четырех равных правильных (равносторонних) треугольников. Площадь одного такого равностороннего треугольника со стороной $L$ равна $S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4}L^2$.

Для нашей пирамиды $L = a\sqrt{2}$, поэтому площадь каждой грани равна $S_{\text{грани}} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(2a^2) = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2$.

Полная площадь поверхности пирамиды $S_{\text{пирамиды}}$ равна сумме площадей четырех ее граней: $S_{\text{пирамиды}} = 4 \times S_{\text{грани}} = 4 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\right) = 2\sqrt{3}a^2$.

Теперь найдем отношение площадей полных поверхностей куба и пирамиды:

$\frac{S_{\text{куба}}}{S_{\text{пирамиды}}} = \frac{6a^2}{2\sqrt{3}a^2} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$.

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Ответ:

$\sqrt{3}$.