Номер 141, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

141. В правильном многограннике 8 граней. Найдите:

а) угол между двумя его ребрами, выходящими из одной вершины;

б) косинус двугранного угла при его ребре.

Дано:

Правильный многогранник с $F = 8$ гранями.

Для правильного многогранника с 8 гранями (октаэдра):

• Тип граней: правильные треугольники, поэтому число сторон у каждой грани $p=3$.
• Число граней, сходящихся в одной вершине: $q=4$.

Найти:

a) Угол между двумя его ребрами, выходящими из одной вершины.

b) Косинус двугранного угла при его ребре.

Решение:

В условии задачи указано, что многогранник является правильным и имеет 8 граней. Единственный правильный многогранник с 8 гранями - это октаэдр.

a) угол между двумя его ребрами, выходящими из одной вершины;

Грани октаэдра представляют собой правильные треугольники. Из каждой вершины октаэдра выходят 4 ребра, которые являются сторонами этих правильных треугольников. Угол между любыми двумя смежными ребрами, выходящими из одной вершины, является углом грани. Так как грани являются правильными треугольниками, все их внутренние углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол между двумя ребрами, выходящими из одной вершины, равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) косинус двугранного угла при его ребре.

Для любого правильного многогранника двугранный угол $\theta$ (угол между двумя смежными гранями) может быть вычислен по формуле, связывающей его с числом сторон грани $p$ и числом граней, сходящихся в одной вершине $q$:

$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}$

Для октаэдра $p=3$ (правильные треугольники) и $q=4$ (4 грани сходятся в каждой вершине).

Подставим эти значения в формулу:

$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\cos(\pi/4)}{\sin(\pi/3)}$

Известно, что:

$\cos(\pi/4) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\pi/3) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти числовые значения:

$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Теперь нам нужно найти $\cos \theta$. Используем тригонометрическое тождество $\cos \theta = 1 - 2\sin^2(\theta/2)$:

$\cos \theta = 1 - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2$

$\cos \theta = 1 - 2\left(\frac{2}{3}\right)$

$\cos \theta = 1 - \frac{4}{3}$

$\cos \theta = -\frac{1}{3}$

Ответ: $ -\frac{1}{3}$