Страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

160. Найдите площадь полной поверхности куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если:

а) площадь его сечения плоскостью $AB_1C_1$ равна $98\sqrt{2}$ $\text{см}^2$;

б) площадь его диагонального сечения равна $1 \text{ м}^2$.

a) площадь его сечения плоскостью AB₁C₁ равна 98$\sqrt{2}$ см²

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Площадь сечения $S_{AB_1C_1} = 98\sqrt{2}$ см$^2$.

Перевод в СИ

$S_{AB_1C_1} = 98\sqrt{2}$ см$^2 = 98\sqrt{2} \cdot (10^{-2})^2$ м$^2 = 98\sqrt{2} \cdot 10^{-4}$ м$^2$.

Найти

Площадь полной поверхности куба $S_{full}$.

Решение

Пусть длина ребра куба равна $a$.

Рассмотрим сечение $AB_1C_1$. Это треугольник с вершинами $A$, $B_1$, $C_1$.

Определим длины сторон этого треугольника:

1. Сторона $AB_1$: Это диагональ грани $ABB_1A_1$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $AB_1 = a\sqrt{2}$.

2. Сторона $B_1C_1$: Это ребро куба. Следовательно, $B_1C_1 = a$.

3. Сторона $AC_1$: Это диагональ прямоугольника $ACC_1A_1$ (или пространственная диагональ). Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. $AC$ - диагональ квадрата $ABCD$, $AC = a\sqrt{2}$. В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ (с прямым углом при $C$), $AC_1$ является гипотенузой. $CC_1 = a$. Тогда $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Проверим, является ли треугольник $AB_1C_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$(B_1C_1)^2 + (AB_1)^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$.

$(AC_1)^2 = (a\sqrt{3})^2 = 3a^2$.

Так как $(B_1C_1)^2 + (AB_1)^2 = (AC_1)^2$, треугольник $AB_1C_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{AB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot B_1C_1 \cdot AB_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

По условию, $S_{AB_1C_1} = 98\sqrt{2}$ см$^2$. Приравниваем выражения для площади:

$\frac{a^2\sqrt{2}}{2} = 98\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$\frac{a^2}{2} = 98$

$a^2 = 98 \cdot 2$

$a^2 = 196$

Найдем длину ребра $a$:

$a = \sqrt{196} = 14$ см.

Площадь полной поверхности куба $S_{full}$ состоит из площадей 6 одинаковых граней (квадратов). Площадь одной грани равна $a^2$.

$S_{full} = 6a^2$

$S_{full} = 6 \cdot 196 = 1176$ см$^2$.

Ответ: 1176 см$^2$

б) площадь его диагонального сечения равна 1 м²

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Площадь диагонального сечения $S_{diag} = 1$ м$^2$.

Перевод в СИ

Все данные уже в системе СИ.

Найти

Площадь полной поверхности куба $S_{full}$.

Решение

Пусть длина ребра куба равна $a$.

Диагональное сечение куба представляет собой прямоугольник, проходящий через два противоположных ребра (например, $AA_1$ и $CC_1$) и диагонали двух противоположных граней ($AC$ и $A_1C_1$). Рассмотрим сечение $ACC_1A_1$.

Стороны этого прямоугольника:

1. Длина ребра куба: $CC_1 = a$.

2. Длина диагонали грани: $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Площадь диагонального сечения $S_{diag}$ равна произведению длин его сторон:

$S_{diag} = CC_1 \cdot AC = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$.

По условию, $S_{diag} = 1$ м$^2$. Приравниваем выражения для площади:

$a^2\sqrt{2} = 1$

Выразим $a^2$:

$a^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе:

$a^2 = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м$^2$.

Площадь полной поверхности куба $S_{full}$ вычисляется по формуле $S_{full} = 6a^2$.

$S_{full} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S_{full} = 3\sqrt{2}$ м$^2$.

Ответ: $3\sqrt{2}$ м$^2$

a) Угол между диагональю боковой грани правильной треугольной призмы и другой ее боковой гранью равен $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности этой призмы, если ее высота равна 2 дм.

б) Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 8 см и наклонена к основанию под углом $75^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

a)

Дано:

Правильная треугольная призма.Угол между диагональю боковой грани и другой ее боковой гранью $\alpha = 30^\circ$.Высота призмы $h = 2$ дм.

Перевод в СИ:

$h = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$.

Найти:

Площадь полной поверхности $S_{полн}$.

Решение:

Пусть $a$ – сторона основания правильной треугольной призмы. Пусть $A, B, C$ – вершины нижнего основания, и $A', B', C'$ – вершины верхнего основания. Высота призмы равна $h = AA'$.Рассмотрим диагональ $AB'$ боковой грани $AA'B'B$. Другой боковой гранью, смежной с $AA'B'B$, является, например, $AA'C'C$. Угол между диагональю $AB'$ и плоскостью грани $AA'C'C$ равен $30^\circ$.Для нахождения этого угла проведем перпендикуляр из точки $B'$ к плоскости $AA'C'C$. Так как основание призмы – правильный треугольник, то высота $B'K$ треугольника $A'B'C'$ (где $K$ – середина $A'C'$) перпендикулярна $A'C'$. Также $B'K$ перпендикулярна $AA'$, поскольку $AA'$ перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $B'K$ перпендикулярна плоскости $AA'C'C$.Точка $A$ лежит в плоскости $AA'C'C$. Тогда проекция диагонали $AB'$ на плоскость $AA'C'C$ есть отрезок $AK$.Угол между диагональю $AB'$ и плоскостью $AA'C'C$ есть $\angle B'AK$. По условию $\angle B'AK = 30^\circ$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B'KA$ с прямым углом при вершине $K$.Длина высоты $B'K$ в правильном треугольнике со стороной $a$ равна $B'K = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.Длина отрезка $AK$ может быть найдена из прямоугольного треугольника $\triangle AA'K$. $A'K = \frac{a}{2}$ (так как $K$ – середина $A'C'$).Тогда $AK = \sqrt{AA'^2 + A'K^2} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$.В $\triangle B'KA$:$\tan(\angle B'AK) = \frac{B'K}{AK}$$\tan(30^\circ) = \frac{a \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}}$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}}$$2\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} = 3a$Возведем обе части в квадрат:$4\left(h^2 + \frac{a^2}{4}\right) = (3a)^2$$4h^2 + a^2 = 9a^2$$4h^2 = 8a^2$$h^2 = 2a^2$$h = a\sqrt{2}$ (так как $h>0, a>0$)Из условия $h = 2$ дм, находим $a$:$2 = a\sqrt{2} \implies a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ дм.Площадь полной поверхности призмы $S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок}$.Площадь основания $S_{осн}$ правильного треугольника со стороной $a$:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ дм$^2$.Периметр основания $P_{осн} = 3a = 3\sqrt{2}$ дм.Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 3\sqrt{2} \cdot 2 = 6\sqrt{2}$ дм$^2$.Таким образом, площадь полной поверхности:$S_{полн} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6\sqrt{2} = \sqrt{3} + 6\sqrt{2}$ дм$^2$.

Ответ: $\sqrt{3} + 6\sqrt{2}$ дм$^2$.

б)

Дано:

Правильная четырехугольная призма.Диагональ призмы $D = 8$ см.Угол наклона диагонали к основанию $\beta = 75^\circ$.

Перевод в СИ:

$D = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение:

Пусть $a$ – сторона квадратного основания правильной четырехугольной призмы, и $h$ – ее высота.Диагональ призмы $D$ образует с плоскостью основания угол $\beta$.Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы $D$, ее высотой $h$ и диагональю основания $d_{осн}$.Из этого треугольника:$h = D \sin(\beta)$$d_{осн} = D \cos(\beta)$Подставим данные значения: $D = 8$ см, $\beta = 75^\circ$.$h = 8 \sin(75^\circ)$$d_{осн} = 8 \cos(75^\circ)$Используем значения синуса и косинуса $75^\circ$:$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.Высота призмы $h$:$h = 8 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = 2(\sqrt{6}+\sqrt{2})$ см.Диагональ основания $d_{осн}$:$d_{осн} = 8 \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = 2(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ см.Основанием правильной четырехугольной призмы является квадрат со стороной $a$. Диагональ квадрата $d_{осн} = a\sqrt{2}$.Отсюда найдем сторону основания $a$:$a = \frac{d_{осн}}{\sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}} = 2(\sqrt{3}-1)$ см.Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.Периметр основания $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 2(\sqrt{3}-1) = 8(\sqrt{3}-1)$ см.Теперь вычислим $S_{бок}$:$S_{бок} = 8(\sqrt{3}-1) \cdot 2(\sqrt{6}+\sqrt{2})$$S_{бок} = 16(\sqrt{3}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})$Раскроем скобки:$S_{бок} = 16(\sqrt{3}\sqrt{6} + \sqrt{3}\sqrt{2} - 1\sqrt{6} - 1\sqrt{2})$$S_{бок} = 16(\sqrt{18} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2})$$S_{бок} = 16(3\sqrt{2} - \sqrt{2})$$S_{бок} = 16(2\sqrt{2})$$S_{бок} = 32\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $32\sqrt{2}$ см$^2$.

162. Расстояния между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы равны $a, b, c$, а боковое ребро равно $n$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Дано:

Наклонная треугольная призма

Расстояния между боковыми ребрами (стороны перпендикулярного сечения): $a, b, c$

Длина бокового ребра: $n$

Перевод в СИ:

Данные представлены в буквенном виде и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности наклонной призмы определяется произведением периметра перпендикулярного сечения призмы на длину бокового ребра.

Перпендикулярное сечение наклонной треугольной призмы представляет собой треугольник, стороны которого равны расстояниям между соответствующими боковыми ребрами. В данном случае, эти расстояния равны $a, b, c$.

Периметр перпендикулярного сечения ($P_{\perp}$) вычисляется как сумма длин его сторон:

$P_{\perp} = a + b + c$

Длина бокового ребра призмы дана и составляет $n$.

Формула для площади боковой поверхности ($S_{бок}$) наклонной призмы:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot n$

Подставляем выражение для $P_{\perp}$ в формулу для $S_{бок}$:

$S_{бок} = (a + b + c) \cdot n$

Ответ:

Площадь боковой поверхности призмы равна $(a + b + c)n$.

163. Каждое ребро наклонной треугольной призмы равно 2 дм, а одно из ее боковых ребер образует с соседними сторонами основания углы, равные по $60^\circ$ (рисунок 91). Найдите площадь полной поверхности призмы.

Рисунок 91

Дано:

Наклонная треугольная призма.

Длина каждого ребра $a = 2$ дм.

Одно из боковых ребер (например, $AA_1$) образует с соседними сторонами основания ($AB$ и $AC$) углы, равные $60^\circ$, т.е. $\angle A_1AB = 60^\circ$ и $\angle A_1AC = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$.

Найти:

$S_{полн}$ (площадь полной поверхности призмы).

Решение:

Площадь полной поверхности призмы складывается из удвоенной площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$):

Так как каждое ребро призмы равно $a$, то стороны основания $AB$, $BC$, $CA$ также равны $a$. Следовательно, основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной $a$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a = 2$ дм:

$S_{осн} = \frac{(2 \text{ дм})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \text{ дм}^2$.

2. Нахождение площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

Боковая поверхность наклонной призмы состоит из трех параллелограммов: $AA_1B_1B$, $BB_1C_1C$, $CC_1A_1A$. Длины всех боковых ребер $AA_1 = BB_1 = CC_1 = a = 2$ дм.

Рассмотрим площади каждой боковой грани:

а) Грань $AA_1B_1B$:

Это параллелограмм со сторонами $AA_1 = a$ и $AB = a$. Угол между этими сторонами $\angle A_1AB = 60^\circ$ (дано).

Площадь этой грани: $S_{AA_1B_1B} = AA_1 \cdot AB \cdot \sin(\angle A_1AB) = a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим $a = 2$ дм:

$S_{AA_1B_1B} = (2 \text{ дм})^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2$.

б) Грань $AA_1C_1C$:

Это параллелограмм со сторонами $AA_1 = a$ и $AC = a$. Угол между этими сторонами $\angle A_1AC = 60^\circ$ (дано).

Площадь этой грани: $S_{AA_1C_1C} = AA_1 \cdot AC \cdot \sin(\angle A_1AC) = a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим $a = 2$ дм:

$S_{AA_1C_1C} = (2 \text{ дм})^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2$.

в) Грань $BB_1C_1C$:

Это параллелограмм со сторонами $BB_1 = a$ и $BC = a$. Для нахождения площади этой грани необходимо найти угол между $BB_1$ и $BC$ (например, $\angle B_1BC$).

Так как ребро $AA_1$ образует углы $60^\circ$ с $AB$ и $AC$, а $AB=AC=AA_1=a$, то треугольники $A_1AB$ и $A_1AC$ являются равносторонними. Следовательно, $A_1B = a$ и $A_1C = a$.

Для определения угла $\angle B_1BC$ используем координатный метод. Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Так как основание $ABC$ - равносторонний треугольник со стороной $a=2$ дм, координаты вершин можно задать как:

$A=(0,0,0)$

$B=(a,0,0) = (2,0,0)$

$C=(a \cos 60^\circ, a \sin 60^\circ, 0) = (2 \cdot 1/2, 2 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1, \sqrt{3}, 0)$.

Вектор основания $\vec{BC} = C - B = (1-2, \sqrt{3}-0, 0-0) = (-1, \sqrt{3}, 0)$.

Пусть координаты вершины $A_1=(x_1, y_1, z_1)$. Длина ребра $AA_1=a=2$, поэтому $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = a^2 = 4$.

Условие $\angle A_1AB = 60^\circ$ означает, что скалярное произведение векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{AB}$ равно:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA_1}| |\vec{AB}| \cos 60^\circ$

Вектор $\vec{AB} = (2,0,0)$.

$(x_1, y_1, z_1) \cdot (2,0,0) = 2 \cdot 2 \cdot 1/2$

$2x_1 = 2 \implies x_1 = 1$.

Условие $\angle A_1AC = 60^\circ$ означает, что скалярное произведение векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{AC}$ равно:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AC} = |\vec{AA_1}| |\vec{AC}| \cos 60^\circ$

Вектор $\vec{AC} = (1, \sqrt{3}, 0)$.

$(x_1, y_1, z_1) \cdot (1, \sqrt{3}, 0) = 2 \cdot 2 \cdot 1/2$

$x_1 + \sqrt{3}y_1 = 2$.

Подставим $x_1=1$: $1 + \sqrt{3}y_1 = 2 \implies \sqrt{3}y_1 = 1 \implies y_1 = 1/\sqrt{3} = \sqrt{3}/3$.

Теперь найдем $z_1$ из уравнения $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = a^2=4$:

$1^2 + (\sqrt{3}/3)^2 + z_1^2 = 4$

$1 + 3/9 + z_1^2 = 4$

$1 + 1/3 + z_1^2 = 4$

$4/3 + z_1^2 = 4$

$z_1^2 = 4 - 4/3 = 8/3$

$z_1 = \sqrt{8/3} = 2\sqrt{2}/\sqrt{3} = 2\sqrt{6}/3$. (Выбираем положительное значение $z_1$, так как призма обычно располагается в положительном направлении оси Z).

Таким образом, вектор бокового ребра $\vec{AA_1} = (1, \sqrt{3}/3, 2\sqrt{6}/3)$.

Так как $BB_1$ является боковым ребром призмы, вектор $\vec{BB_1}$ параллелен $\vec{AA_1}$ и имеет ту же длину, поэтому $\vec{BB_1} = (1, \sqrt{3}/3, 2\sqrt{6}/3)$.

Найдем угол $\phi = \angle B_1BC$ между векторами $\vec{BB_1}$ и $\vec{BC}$ с помощью скалярного произведения:

$\cos \phi = \frac{\vec{BB_1} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BB_1}| |\vec{BC}|}$

$|\vec{BB_1}| = a = 2$

$|\vec{BC}| = a = 2$

$\vec{BB_1} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (\sqrt{3}/3)(\sqrt{3}) + (2\sqrt{6}/3)(0)$

$= -1 + 3/3 + 0 = -1 + 1 = 0$.

Так как скалярное произведение равно 0, векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны. Следовательно, $\phi = 90^\circ$.

Грань $BB_1C_1C$ является прямоугольником со сторонами $BC = a$ и $BB_1 = a$.

Площадь этой грани: $S_{BB_1C_1C} = a \cdot a = a^2$.

Подставим $a = 2$ дм:

$S_{BB_1C_1C} = (2 \text{ дм})^2 = 4 \text{ дм}^2$.

Общая площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) является суммой площадей всех трех боковых граней:

$S_{бок} = S_{AA_1B_1B} + S_{AA_1C_1C} + S_{BB_1C_1C}$

$S_{бок} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2 + 2\sqrt{3} \text{ дм}^2 + 4 \text{ дм}^2$

$S_{бок} = (4\sqrt{3} + 4) \text{ дм}^2$.

3. Нахождение площади полной поверхности ($S_{полн}$):

Теперь подставим найденные значения $S_{осн}$ и $S_{бок}$ в формулу для полной поверхности:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 2(\sqrt{3}) \text{ дм}^2 + (4\sqrt{3} + 4) \text{ дм}^2$

$S_{полн} = (2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 4) \text{ дм}^2$

$S_{полн} = (6\sqrt{3} + 4) \text{ дм}^2$.

Ответ:

Площадь полной поверхности призмы составляет $(6\sqrt{3} + 4) \text{ дм}^2$.

164. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, диагональное сечение которой равновелико основанию, если сторона основания равна $a$.

Дано
Правильная четырехугольная пирамида.
Сторона основания: $a$.
Площадь диагонального сечения равна площади основания: $S_{сеч} = S_{осн}$.

Перевод в систему СИ
Данные уже представлены в буквенном виде, не требующем перевода в численные единицы СИ.

Найти:
Площадь боковой поверхности пирамиды: $S_{бок}$.

Решение
1. Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат со стороной $a$.
Площадь основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = a^2$.

2. Диагональное сечение пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диагональ основания пирамиды, а боковыми сторонами - боковые ребра пирамиды.
Длина диагонали основания $d_{осн}$ для квадрата со стороной $a$ равна: $d_{осн} = a\sqrt{2}$.

3. Пусть $h$ - высота пирамиды. Тогда площадь диагонального сечения $S_{сеч}$ вычисляется как площадь треугольника: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d_{осн} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot h$.

4. По условию задачи, $S_{сеч} = S_{осн}$.
Приравниваем выражения для площадей:
$\frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot h = a^2$
Выразим высоту $h$:
$h = \frac{2a^2}{a\sqrt{2}} = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$.

5. Для нахождения площади боковой поверхности правильной пирамиды необходимо знать апофему (высоту боковой грани). Обозначим апофему как $l$.
В правильной четырехугольной пирамиде апофема, высота пирамиды и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник.
Половина стороны основания равна $\frac{a}{2}$.
Применяем теорему Пифагора:
$l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
Подставляем найденное значение $h = a\sqrt{2}$:
$l^2 = (a\sqrt{2})^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
$l^2 = 2a^2 + \frac{a^2}{4}$
$l^2 = \frac{8a^2 + a^2}{4} = \frac{9a^2}{4}$
$l = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}$.

6. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot l$, где $P_{осн}$ - периметр основания.
Периметр основания $P_{осн}$ для квадрата со стороной $a$ равен: $P_{осн} = 4a$.
Подставляем значения $P_{осн}$ и $l$:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (4a) \cdot \left(\frac{3a}{2}\right)$
$S_{бок} = 2a \cdot \frac{3a}{2}$
$S_{бок} = 3a^2$.

Ответ: $3a^2$

165. a) Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 6 см и 8 см. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

б) В треугольной пирамиде стороны основания равны 13 см, 14 см и 15 см, а все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

a)

Дано:

Основание пирамиды – прямоугольный треугольник.

Катеты основания: $a = 6$ см, $b = 8$ см.

Угол наклона всех боковых граней к плоскости основания: $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$).

Решение:

Поскольку все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в основание.

Площадь боковой поверхности пирамиды в этом случае можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \alpha}$, где $S_{осн}$ – площадь основания, $\alpha$ – угол наклона боковых граней.

1. Найдем площадь основания. Основание – прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$

2. Найдем значение косинуса угла наклона.

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

3. Вычислим площадь боковой поверхности пирамиды.

$S_{бок} = \frac{24 \text{ см}^2}{1/2} = 24 \text{ см}^2 \cdot 2 = 48 \text{ см}^2$

Ответ:

$48 \text{ см}^2$

б)

Дано:

Основание пирамиды – треугольник со сторонами: $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см.

Угол наклона всех боковых граней к плоскости основания: $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

$b = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

$c = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$).

Решение:

Поскольку все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в основание.

Площадь боковой поверхности пирамиды в этом случае можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \alpha}$, где $S_{осн}$ – площадь основания, $\alpha$ – угол наклона боковых граней.

1. Найдем площадь основания, используя формулу Герона. Стороны треугольника $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см.

Полупериметр $s = \frac{a+b+c}{2}$

$s = \frac{13 \text{ см} + 14 \text{ см} + 15 \text{ см}}{2} = \frac{42 \text{ см}}{2} = 21 \text{ см}$

$S_{осн} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$S_{осн} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$

$S_{осн} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$

$S_{осн} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)}$

$S_{осн} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$

$S_{осн} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84 \text{ см}^2$

2. Найдем значение косинуса угла наклона.

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. Вычислим площадь боковой поверхности пирамиды.

$S_{бок} = \frac{84 \text{ см}^2}{\sqrt{2}/2} = \frac{84 \cdot 2}{\sqrt{2}} \text{ см}^2 = \frac{168}{\sqrt{2}} \text{ см}^2 = \frac{168 \sqrt{2}}{2} \text{ см}^2 = 84\sqrt{2} \text{ см}^2$

Ответ:

$84\sqrt{2} \text{ см}^2$

166. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 12 см и 8 см, а двугранный угол при ребре нижнего основания – $60^\circ$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через две ее апофемы. Рассмотрите все возможные случаи.

Дано:

Сторона нижнего основания $a_1 = 12 \text{ см}$

Сторона верхнего основания $a_2 = 8 \text{ см}$

Двугранный угол при ребре нижнего основания $\alpha = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:

$a_1 = 0.12 \text{ м}$

$a_2 = 0.08 \text{ м}$

$\alpha = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

Площадь сечения пирамиды $S_{сеч}$

Решение:

Усеченная пирамида является правильной четырехугольной, значит, ее основания - квадраты, а боковые грани - равные трапеции. Апофемой боковой грани усеченной пирамиды является ее высота. Обозначим апофему боковой грани как $l$. Вычислим $l$ и высоту усеченной пирамиды $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды $H$, проекцией апофемы боковой грани на основание и самой апофемой $l$. Проекция апофемы на основание равна половине разности сторон оснований: $x = \frac{a_1 - a_2}{2}$.

Подставим значения: $x = \frac{0.12 \text{ м} - 0.08 \text{ м}}{2} = \frac{0.04 \text{ м}}{2} = 0.02 \text{ м}$.

Двугранный угол $\alpha = 60^\circ$ является углом между апофемой $l$ и ее проекцией $x$.

Из прямоугольного треугольника имеем:

$H = x \cdot \tan(\alpha)$

$l = \frac{x}{\cos(\alpha)}$

Вычислим $H$ и $l$:

$H = 0.02 \text{ м} \cdot \tan(60^\circ) = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

$l = \frac{0.02 \text{ м}}{\cos(60^\circ)} = \frac{0.02 \text{ м}}{0.5} = 0.04 \text{ м}$

Рассмотрим все возможные случаи прохождения плоскости сечения через две апофемы.

Случай 1: Сечение проходит через апофемы противоположных боковых граней.

В этом случае сечение представляет собой равнобедренную трапецию, которая проходит через центры оснований и перпендикулярна их сторонам. Параллельные стороны этой трапеции равны сторонам оснований пирамиды: $b_1 = a_1 = 0.12 \text{ м}$ и $b_2 = a_2 = 0.08 \text{ м}$. Высота этой трапеции равна высоте усеченной пирамиды $H = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$.

Площадь сечения $S_1$ вычисляется по формуле площади трапеции:

$S_1 = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot H$

$S_1 = \frac{0.12 \text{ м} + 0.08 \text{ м}}{2} \cdot 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

$S_1 = \frac{0.20 \text{ м}}{2} \cdot 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

$S_1 = 0.10 \text{ м} \cdot 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

$S_1 = 0.002\sqrt{3} \text{ м}^2$

Переведем в см$^2$: $S_1 = 0.002\sqrt{3} \cdot (100 \text{ см})^2 = 0.002\sqrt{3} \cdot 10000 \text{ см}^2 = 20\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $20\sqrt{3} \text{ см}^2$

Случай 2: Сечение проходит через апофемы смежных боковых граней.

В этом случае сечение также является равнобедренной трапецией. Параллельные стороны этой трапеции соединяют середины смежных сторон оснований. Длина такой стороны в квадратном основании с ребром $a$ равна $\frac{a}{\sqrt{2}}$.

Длины параллельных сторон сечения: $b'_1 = \frac{a_1}{\sqrt{2}} = \frac{0.12 \text{ м}}{\sqrt{2}} = 0.06\sqrt{2} \text{ м}$.

$b'_2 = \frac{a_2}{\sqrt{2}} = \frac{0.08 \text{ м}}{\sqrt{2}} = 0.04\sqrt{2} \text{ м}$.

Непараллельные стороны этой трапеции - это апофемы боковых граней, то есть $l = 0.04 \text{ м}$.

Найдем высоту этой трапеции, обозначим ее $H'$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $l$, высотой $H'$ и отрезком, равным половине разности параллельных сторон: $y = \frac{b'_1 - b'_2}{2}$.

$y = \frac{0.06\sqrt{2} \text{ м} - 0.04\sqrt{2} \text{ м}}{2} = \frac{0.02\sqrt{2} \text{ м}}{2} = 0.01\sqrt{2} \text{ м}$.

По теореме Пифагора:

$H'^2 = l^2 - y^2$

$H' = \sqrt{(0.04 \text{ м})^2 - (0.01\sqrt{2} \text{ м})^2}$

$H' = \sqrt{0.0016 \text{ м}^2 - 0.0001 \cdot 2 \text{ м}^2}$

$H' = \sqrt{0.0016 \text{ м}^2 - 0.0002 \text{ м}^2}$

$H' = \sqrt{0.0014} \text{ м}$

Площадь сечения $S_2$ вычисляется по формуле площади трапеции:

$S_2 = \frac{b'_1 + b'_2}{2} \cdot H'$

$S_2 = \frac{0.06\sqrt{2} \text{ м} + 0.04\sqrt{2} \text{ м}}{2} \cdot \sqrt{0.0014} \text{ м}$

$S_2 = \frac{0.10\sqrt{2} \text{ м}}{2} \cdot \sqrt{0.0014} \text{ м}$

$S_2 = 0.05\sqrt{2} \text{ м} \cdot \sqrt{0.0014} \text{ м}$

$S_2 = 0.05\sqrt{2 \cdot 0.0014} \text{ м}^2$

$S_2 = 0.05\sqrt{0.0028} \text{ м}^2$

$S_2 = 0.05\sqrt{0.0004 \cdot 7} \text{ м}^2$

$S_2 = 0.05 \cdot 0.02\sqrt{7} \text{ м}^2$

$S_2 = 0.001\sqrt{7} \text{ м}^2$

Переведем в см$^2$: $S_2 = 0.001\sqrt{7} \cdot (100 \text{ см})^2 = 0.001\sqrt{7} \cdot 10000 \text{ см}^2 = 10\sqrt{7} \text{ см}^2$.

Ответ: $10\sqrt{7} \text{ см}^2$