Номер 166, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

166. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 12 см и 8 см, а двугранный угол при ребре нижнего основания – $60^\circ$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через две ее апофемы. Рассмотрите все возможные случаи.

Дано:

Сторона нижнего основания $a_1 = 12 \text{ см}$

Сторона верхнего основания $a_2 = 8 \text{ см}$

Двугранный угол при ребре нижнего основания $\alpha = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:

$a_1 = 0.12 \text{ м}$

$a_2 = 0.08 \text{ м}$

$\alpha = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

Площадь сечения пирамиды $S_{сеч}$

Решение:

Усеченная пирамида является правильной четырехугольной, значит, ее основания - квадраты, а боковые грани - равные трапеции. Апофемой боковой грани усеченной пирамиды является ее высота. Обозначим апофему боковой грани как $l$. Вычислим $l$ и высоту усеченной пирамиды $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды $H$, проекцией апофемы боковой грани на основание и самой апофемой $l$. Проекция апофемы на основание равна половине разности сторон оснований: $x = \frac{a_1 - a_2}{2}$.

Подставим значения: $x = \frac{0.12 \text{ м} - 0.08 \text{ м}}{2} = \frac{0.04 \text{ м}}{2} = 0.02 \text{ м}$.

Двугранный угол $\alpha = 60^\circ$ является углом между апофемой $l$ и ее проекцией $x$.

Из прямоугольного треугольника имеем:

$H = x \cdot \tan(\alpha)$

$l = \frac{x}{\cos(\alpha)}$

Вычислим $H$ и $l$:

$H = 0.02 \text{ м} \cdot \tan(60^\circ) = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

$l = \frac{0.02 \text{ м}}{\cos(60^\circ)} = \frac{0.02 \text{ м}}{0.5} = 0.04 \text{ м}$

Рассмотрим все возможные случаи прохождения плоскости сечения через две апофемы.

Случай 1: Сечение проходит через апофемы противоположных боковых граней.

В этом случае сечение представляет собой равнобедренную трапецию, которая проходит через центры оснований и перпендикулярна их сторонам. Параллельные стороны этой трапеции равны сторонам оснований пирамиды: $b_1 = a_1 = 0.12 \text{ м}$ и $b_2 = a_2 = 0.08 \text{ м}$. Высота этой трапеции равна высоте усеченной пирамиды $H = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$.

Площадь сечения $S_1$ вычисляется по формуле площади трапеции:

$S_1 = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot H$

$S_1 = \frac{0.12 \text{ м} + 0.08 \text{ м}}{2} \cdot 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

$S_1 = \frac{0.20 \text{ м}}{2} \cdot 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

$S_1 = 0.10 \text{ м} \cdot 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

$S_1 = 0.002\sqrt{3} \text{ м}^2$

Переведем в см$^2$: $S_1 = 0.002\sqrt{3} \cdot (100 \text{ см})^2 = 0.002\sqrt{3} \cdot 10000 \text{ см}^2 = 20\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $20\sqrt{3} \text{ см}^2$

Случай 2: Сечение проходит через апофемы смежных боковых граней.

В этом случае сечение также является равнобедренной трапецией. Параллельные стороны этой трапеции соединяют середины смежных сторон оснований. Длина такой стороны в квадратном основании с ребром $a$ равна $\frac{a}{\sqrt{2}}$.

Длины параллельных сторон сечения: $b'_1 = \frac{a_1}{\sqrt{2}} = \frac{0.12 \text{ м}}{\sqrt{2}} = 0.06\sqrt{2} \text{ м}$.

$b'_2 = \frac{a_2}{\sqrt{2}} = \frac{0.08 \text{ м}}{\sqrt{2}} = 0.04\sqrt{2} \text{ м}$.

Непараллельные стороны этой трапеции - это апофемы боковых граней, то есть $l = 0.04 \text{ м}$.

Найдем высоту этой трапеции, обозначим ее $H'$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $l$, высотой $H'$ и отрезком, равным половине разности параллельных сторон: $y = \frac{b'_1 - b'_2}{2}$.

$y = \frac{0.06\sqrt{2} \text{ м} - 0.04\sqrt{2} \text{ м}}{2} = \frac{0.02\sqrt{2} \text{ м}}{2} = 0.01\sqrt{2} \text{ м}$.

По теореме Пифагора:

$H'^2 = l^2 - y^2$

$H' = \sqrt{(0.04 \text{ м})^2 - (0.01\sqrt{2} \text{ м})^2}$

$H' = \sqrt{0.0016 \text{ м}^2 - 0.0001 \cdot 2 \text{ м}^2}$

$H' = \sqrt{0.0016 \text{ м}^2 - 0.0002 \text{ м}^2}$

$H' = \sqrt{0.0014} \text{ м}$

Площадь сечения $S_2$ вычисляется по формуле площади трапеции:

$S_2 = \frac{b'_1 + b'_2}{2} \cdot H'$

$S_2 = \frac{0.06\sqrt{2} \text{ м} + 0.04\sqrt{2} \text{ м}}{2} \cdot \sqrt{0.0014} \text{ м}$

$S_2 = \frac{0.10\sqrt{2} \text{ м}}{2} \cdot \sqrt{0.0014} \text{ м}$

$S_2 = 0.05\sqrt{2} \text{ м} \cdot \sqrt{0.0014} \text{ м}$

$S_2 = 0.05\sqrt{2 \cdot 0.0014} \text{ м}^2$

$S_2 = 0.05\sqrt{0.0028} \text{ м}^2$

$S_2 = 0.05\sqrt{0.0004 \cdot 7} \text{ м}^2$

$S_2 = 0.05 \cdot 0.02\sqrt{7} \text{ м}^2$

$S_2 = 0.001\sqrt{7} \text{ м}^2$

Переведем в см$^2$: $S_2 = 0.001\sqrt{7} \cdot (100 \text{ см})^2 = 0.001\sqrt{7} \cdot 10000 \text{ см}^2 = 10\sqrt{7} \text{ см}^2$.

Ответ: $10\sqrt{7} \text{ см}^2$