Номер 168, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

168. Площадь основания правильной треугольной призмы равна $4\sqrt{6}$ дм². Найдите площадь сечения призмы, проведенного через сторону одного основания и параллельную ей среднюю линию другого основания, если угол между плоскостью сечения и боковой гранью, содержащей указанную сторону основания, равен $30^\circ$.

Дано:

Площадь основания правильной треугольной призмы $S_{осн} = 4\sqrt{6}$ дм$^2$.

Угол между плоскостью сечения и боковой гранью, содержащей указанную сторону основания $\theta = 30^\circ$.

Перевод в СИ:

$S_{осн} = 4\sqrt{6} \text{ дм}^2 = 4\sqrt{6} \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 0.04\sqrt{6} \text{ м}^2$.

$\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ радиан.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1.

Обозначим сторону основания правильной треугольной призмы как $a$. Основанием призмы является равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

2.

Используем данную площадь основания для нахождения стороны $a$:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{6}$

$a^2 = \frac{4 \cdot 4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{2}$

$a = \sqrt{16\sqrt{2}} = 4\sqrt[4]{2}$ дм.

3.

Рассмотрим сечение. Сечение проходит через сторону одного основания (пусть будет AB) и параллельную ей среднюю линию другого основания (пусть будет M'N'). Так как средняя линия в равностороннем треугольнике параллельна стороне и равна ее половине, то длина M'N' = $\frac{a}{2}$.

4.

Сечение ABN'M' является равнобедренной трапецией. Ее параллельные стороны равны $a$ и $\frac{a}{2}$.

5.

Найдем высоту трапеции $h_{трапеции}$. Пусть K - середина стороны AB, а P' - середина средней линии M'N'. Тогда KP' - высота трапеции. Пусть H - высота призмы.

6.

Угол между плоскостью сечения (плоскость ABN'M') и боковой гранью, содержащей сторону AB (плоскость ABB'A'), равен $30^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая AB.

7.

По определению угла между плоскостями, проведем из точки K (середина AB) перпендикулярные отрезки к AB в каждой из плоскостей. В плоскости сечения это будет отрезок KP'. В плоскости боковой грани ABB'A' (которая является прямоугольником для правильной призмы) это будет отрезок $KK_{top}$, где $K_{top}$ - середина A'B'. Длина $KK_{top}$ равна высоте призмы H. Угол между KP' и $KK_{top}$ равен $30^\circ$.

8.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезками $KP_{proj}$, $P'P_{proj}$ и $KP'$, где $P_{proj}$ - проекция точки P' на плоскость нижнего основания. Длина $P'P_{proj}$ равна высоте призмы H. Длина $KP_{proj}$ - это расстояние от середины AB до проекции середины M'N' на нижнее основание. $KP_{proj}$ - это отрезок, соединяющий середину стороны AB с серединой средней линии MN в нижнем основании (MN параллельна AB). Длина $KP_{proj}$ равна половине высоты равностороннего треугольника основания от стороны AB до вершины C: $h_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $KP_{proj} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

9.

В треугольнике, образованном $KP'$, $KK_{top}$ и проекцией $P'$ на плоскость $KK_{top}$ (пусть будет $P'_{proj\_KK_{top}}$), высота призмы $H$ и высота трапеции $h_{трапеции}$ связаны соотношением: $H = h_{трапеции} \cdot \cos 30^\circ$.

$h_{трапеции} = \frac{H}{\cos 30^\circ} = \frac{H}{\sqrt{3}/2} = \frac{2H}{\sqrt{3}}$.

10.

Из прямоугольного треугольника с катетами $KP_{proj}$ и $P'P_{proj}$ и гипотенузой $KP'$ (высота трапеции $h_{трапеции}$), по теореме Пифагора:

$(h_{трапеции})^2 = (KP_{proj})^2 + H^2$

$\left(\frac{2H}{\sqrt{3}}\right)^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 + H^2$

$\frac{4H^2}{3} = \frac{3a^2}{16} + H^2$

$\frac{4H^2}{3} - H^2 = \frac{3a^2}{16}$

$\frac{H^2}{3} = \frac{3a^2}{16}$

$H^2 = \frac{9a^2}{16}$

$H = \frac{3a}{4}$.

11.

Теперь найдем высоту трапеции $h_{трапеции}$ в явном виде:

$h_{трапеции} = \frac{2H}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \frac{3a}{4}}{\sqrt{3}} = \frac{3a}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}a}{2}$.

12.

Площадь трапеции $S_{сеч}$ вычисляется по формуле $S = \frac{\text{сумма параллельных сторон}}{2} \cdot \text{высота}$.

$S_{сеч} = \frac{a + \frac{a}{2}}{2} \cdot h_{трапеции} = \frac{\frac{3a}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{3a}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{8}$.

13.

Подставим значение $a^2 = 16\sqrt{2}$:

$S_{сеч} = \frac{3\sqrt{3} \cdot (16\sqrt{2})}{8} = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{6}$ дм$^2$.

14.

Переведем в СИ:

$S_{сеч} = 6\sqrt{6} \text{ дм}^2 = 6\sqrt{6} \cdot 0.01 \text{ м}^2 = 0.06\sqrt{6} \text{ м}^2$.

Ответ: $0.06\sqrt{6}$ м$^2$.