Номер 169, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

169. Основание наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – ромб, сторона которого равна $a$, а острый угол – $\varphi$. Вершина $A_1$ удалена от каждой из точек $A, B$ и $D$ на расстояние, равное $a$. Найдите площадь четырехугольника $BB_1D_1D$.

Дано:

Основание наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — ромб $ABCD$.

Сторона ромба $AB = a$.

Острый угол ромба $\angle A = \phi$.

Расстояния от вершины $A_1$ до точек $A, B, D$ равны: $A_1A = A_1B = A_1D = a$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в символьном виде, что не требует перевода в конкретные единицы СИ.

Найти:

Площадь четырехугольника $BB_1D_1D$.

Решение:

1. Определим характеристики ромба $ABCD$. Все стороны ромба равны $a$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $AB = a$ и $AD = a$, треугольник $ABD$ является равнобедренным. Диагональ $BD$ ромба можно найти по теореме косинусов в треугольнике $ABD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

$BD^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos\phi$

$BD^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos\phi = 2a^2(1 - \cos\phi)$

Используя тригонометрическое тождество $1 - \cos\phi = 2\sin^2(\phi/2)$, получаем:

$BD^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\phi/2) = 4a^2\sin^2(\phi/2)$

Так как $\phi$ - острый угол ромба ($0 < \phi < \pi/2$), то $\phi/2$ находится в интервале $(0, \pi/4)$, и $\sin(\phi/2) > 0$. Следовательно,

$BD = \sqrt{4a^2\sin^2(\phi/2)} = 2a\sin(\phi/2)$.

2. Рассмотрим условия, связанные с вершиной $A_1$. Нам дано, что $A_1A = A_1B = A_1D = a$. Поскольку $AA_1$, $BB_1$, $DD_1$ являются боковыми ребрами призмы, они равны по длине и параллельны. Таким образом, $AA_1 = BB_1 = DD_1 = a$. Из условия $A_1A = a$ и $AB = a$, а также $A_1B = a$, следует, что треугольник $A_1AB$ является равносторонним. Значит, угол между ребром $AA_1$ и стороной $AB$ равен $\angle A_1AB = 60^\circ$. Аналогично, из условия $A_1A = a$ и $AD = a$, а также $A_1D = a$, следует, что треугольник $A_1AD$ является равносторонним. Значит, угол между ребром $AA_1$ и стороной $AD$ равен $\angle A_1AD = 60^\circ$.

3. Рассмотрим четырехугольник $BB_1D_1D$. Это параллелограмм, так как $BB_1 \parallel DD_1$ и $BB_1 = DD_1 = a$. Площадь параллелограмма, образованного двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, исходящими из одной вершины, равна модулю их векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin(\angle(\vec{u}, \vec{v}))$. Возьмем вершину $D$ как начало векторов. Тогда стороны параллелограмма $BB_1D_1D$ задаются векторами $\vec{DB}$ и $\vec{DD_1}$. Площадь $S_{BB_1D_1D} = |\vec{DB}| \cdot |\vec{DD_1}| \sin(\angle(\vec{DB}, \vec{DD_1}))$.

4. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{DB}$ и $\vec{DD_1}$. Для этого удобно поместить вершину $A$ в начало координат. Пусть $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AD} = \vec{d}$. Тогда $|\vec{b}| = a$ и $|\vec{d}| = a$. Скалярное произведение $\vec{b} \cdot \vec{d} = |\vec{b}||\vec{d}|\cos\phi = a^2\cos\phi$. Пусть $\vec{AA_1} = \vec{v}$. Тогда $|\vec{v}| = a$. Вектор $\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{b} - \vec{d}$. Вектор $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{v}$ (по свойству призмы). Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{DB} \cdot \vec{DD_1}$: $\vec{DB} \cdot \vec{DD_1} = (\vec{b} - \vec{d}) \cdot \vec{v} = \vec{b}\cdot\vec{v} - \vec{d}\cdot\vec{v}$.

5. Вычислим $\vec{b}\cdot\vec{v}$ и $\vec{d}\cdot\vec{v}$. Мы знаем, что $\angle A_1AB = 60^\circ$. Значит, $\cos(\angle A_1AB) = \cos(60^\circ) = 1/2$. $\vec{b}\cdot\vec{v} = |\vec{b}||\vec{v}|\cos(\angle A_1AB) = a \cdot a \cdot (1/2) = a^2/2$. Мы знаем, что $\angle A_1AD = 60^\circ$. Значит, $\cos(\angle A_1AD) = \cos(60^\circ) = 1/2$. $\vec{d}\cdot\vec{v} = |\vec{d}||\vec{v}|\cos(\angle A_1AD) = a \cdot a \cdot (1/2) = a^2/2$.

6. Подставим эти значения в скалярное произведение $\vec{DB} \cdot \vec{DD_1}$: $\vec{DB} \cdot \vec{DD_1} = a^2/2 - a^2/2 = 0$. Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DD_1}$ перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$ ($\pi/2$).

7. Так как $\vec{DB} \perp \vec{DD_1}$, параллелограмм $BB_1D_1D$ является прямоугольником. Его стороны - это $BD$ и $DD_1$. Длина стороны $DD_1 = a$. Длина стороны $BD = 2a\sin(\phi/2)$ (из пункта 1). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

$S_{BB_1D_1D} = BD \cdot DD_1 = (2a\sin(\phi/2)) \cdot a = 2a^2\sin(\phi/2)$.

Ответ:

$S_{BB_1D_1D} = 2a^2\sin(\phi/2)$.