Номер 192, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

192. Каждый плоский угол при вершине P правильной пирамиды PABCD равен $60^\circ$. Найдите:

а) $\angle APC$;

б) апофему пирамиды, если $AB = 4 \, \text{см}$.

Дано:

Пирамида $PABCD$ - правильная.

Каждый плоский угол при вершине $P$ равен $60^\circ$ ($\angle APB = \angle BPC = \angle CPD = \angle DPA = 60^\circ$).

Сторона основания $AB = 4$ см.

Перевод в СИ:

$AB = 4$ см $= 0.04$ м.

Найти:

а) $\angle APC$

б) Апофема пирамиды ($h_a$)

Решение

а) угол $APC$

Так как пирамида $PABCD$ является правильной, все ее боковые ребра равны: $PA = PB = PC = PD$.

По условию, каждый плоский угол при вершине $P$ равен $60^\circ$. Рассмотрим боковую грань, например, $\triangle APB$. В этом треугольнике $PA = PB$ (равнобедренный треугольник) и $\angle APB = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике $180^\circ$, поэтому углы при основании равны: $\angle PAB = \angle PBA = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$.

Таким образом, $\triangle APB$ является равносторонним треугольником. Отсюда следует, что длина бокового ребра равна длине стороны основания: $PA = PB = AB = 4$ см.

Аналогично, все боковые грани $\triangle BPC$, $\triangle CPD$, $\triangle DPA$ также являются равносторонними треугольниками со стороной $4$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle APC$. Его стороны $PA = 4$ см и $PC = 4$ см.

Сторона $AC$ является диагональю основания $ABCD$. Поскольку пирамида правильная, ее основание $ABCD$ - это квадрат. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $a\sqrt{2}$. В нашем случае, сторона квадрата $AB = 4$ см, следовательно, $AC = AB\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь у нас есть треугольник $\triangle APC$ со сторонами $PA = 4$ см, $PC = 4$ см и $AC = 4\sqrt{2}$ см.

Для нахождения угла $\angle APC$ воспользуемся теоремой косинусов для $\triangle APC$:

$AC^2 = PA^2 + PC^2 - 2 \cdot PA \cdot PC \cdot \cos(\angle APC)$

Подставим известные значения:

$(4\sqrt{2})^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(\angle APC)$

$16 \cdot 2 = 16 + 16 - 32 \cdot \cos(\angle APC)$

$32 = 32 - 32 \cdot \cos(\angle APC)$

$0 = -32 \cdot \cos(\angle APC)$

$\cos(\angle APC) = 0$

Из этого следует, что $\angle APC = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

б) апофему пирамиды, если $AB = 4$ см.

Апофема правильной пирамиды - это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания.

Рассмотрим любую боковую грань, например, $\triangle APB$. Как мы установили в пункте (а), $\triangle APB$ является равносторонним треугольником со стороной $AB = 4$ см.

Пусть $M$ - середина стороны $AB$. Тогда отрезок $PM$ является апофемой пирамиды, поскольку он является высотой равностороннего треугольника $\triangle APB$, проведенной к стороне $AB$.

Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для $\triangle APB$ со стороной $a = AB = 4$ см, апофема $h_a = PM$ будет:

$h_a = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Все апофемы правильной пирамиды равны.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см