Вопросы?, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Запишите и выведите формулу расстояния от точки до плоскости.

2. По какой формуле можно найти расстояние от начала координат до плоскости?

1. Запишите и выведите формулу расстояния от точки до плоскости.

Расстояние $d$ от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Вывод формулы:

Расстояние от точки до плоскости есть длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость.

1. Выберем на плоскости произвольную точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$. Поскольку точка $M_1$ лежит на плоскости, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: $Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0$. Отсюда следует, что $D = -Ax_1 - By_1 - Cz_1$.

2. Построим вектор $\vec{M_1M_0}$, соединяющий точку $M_1$ на плоскости с точкой $M_0$. Координаты этого вектора: $\vec{M_1M_0} = \{x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1\}$.

3. Вектор нормали к плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ имеет координаты $\vec{n} = \{A, B, C\}$.

4. Искомое расстояние $d$ равно модулю проекции вектора $\vec{M_1M_0}$ на нормальный вектор $\vec{n}$. Формула проекции вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ имеет вид: $\text{пр}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$.

Таким образом, $d = |\text{пр}_{\vec{n}}\vec{M_1M_0}| = \frac{|\vec{M_1M_0} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$.

5. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{M_1M_0}$ и $\vec{n}$:
$\vec{M_1M_0} \cdot \vec{n} = A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1) + C(z_0 - z_1) = Ax_0 + By_0 + Cz_0 - (Ax_1 + By_1 + Cz_1)$.

6. Используя равенство из шага 1, заменим $-(Ax_1 + By_1 + Cz_1)$ на $D$:
$\vec{M_1M_0} \cdot \vec{n} = Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D$.

7. Найдем модуль (длину) нормального вектора:
$|\vec{n}| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$.

8. Подставляя полученные выражения в формулу для расстояния из шага 4, получаем итоговую формулу:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Ответ: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

2. По какой формуле можно найти расстояние от начала координат до плоскости?

Для нахождения расстояния от начала координат до плоскости используется та же самая формула, что и в пункте 1. Начало координат — это точка $O$ с координатами $(0, 0, 0)$.

Подставим координаты точки $O$ ($x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$) в общую формулу расстояния от точки до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

После упрощения выражения в числителе получаем формулу для расстояния от начала координат до плоскости:

$d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Ответ: $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$