Номер 195, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

195. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник со сторонами $AC = 13$м, $AB = 15$м, $BC = 14$м. Боковое ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания и равно 9м. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.

Дано:

Пирамида $DABC$.

Основание: треугольник $ABC$.

Стороны основания: $AC = 13 \text{ м}$, $AB = 15 \text{ м}$, $BC = 14 \text{ м}$.

Высота пирамиды (боковое ребро): $DA = 9 \text{ м}$.

Ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в метрах, что соответствует системе СИ. Перевод не требуется.

$AC = 13 \text{ м}$

$AB = 15 \text{ м}$

$BC = 14 \text{ м}$

$DA = 9 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

Основание - треугольник $ABC$ со сторонами $a = BC = 14 \text{ м}$, $b = AC = 13 \text{ м}$, $c = AB = 15 \text{ м}$.

Используем формулу Герона. Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{AC + AB + BC}{2} = \frac{13 + 15 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ м}$

Площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{p(p-AC)(p-AB)(p-BC)}$

$S_{осн} = \sqrt{21(21-13)(21-15)(21-14)}$

$S_{осн} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 7}$

$S_{осн} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7}$

$S_{осн} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84 \text{ м}^2$

2. Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Боковая поверхность состоит из трех треугольников: $\triangle DAB$, $\triangle DAC$, $\triangle DBC$.

Поскольку ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания, то $DA$ перпендикулярно $AB$ и $AC$.

a) Площадь треугольника $DAB$:

Треугольник $DAB$ прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.

$S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 15 = \frac{135}{2} = 67.5 \text{ м}^2$

b) Площадь треугольника $DAC$:

Треугольник $DAC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.

$S_{DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = \frac{117}{2} = 58.5 \text{ м}^2$

c) Площадь треугольника $DBC$:

Для нахождения площади $\triangle DBC$ нам нужна высота, опущенная из вершины $D$ на сторону $BC$. Пусть $AH$ - высота треугольника $ABC$, опущенная на сторону $BC$.

Найдем $AH$ из площади $\triangle ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$

$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot AH$

$84 = 7 \cdot AH$

$AH = \frac{84}{7} = 12 \text{ м}$

Поскольку $DA \perp \text{плоскости } ABC$ и $AH \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах $DH \perp BC$. Значит, $DH$ - высота $\triangle DBC$, опущенная на сторону $BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAH$ (прямой угол при вершине $A$).

$DH = \sqrt{DA^2 + AH^2}$

$DH = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ м}$

Теперь найдем площадь $\triangle DBC$:

$S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 = 7 \cdot 15 = 105 \text{ м}^2$

3. Найдем полную площадь поверхности $S_{полн}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{DAB} + S_{DAC} + S_{DBC}$

$S_{полн} = 84 + 67.5 + 58.5 + 105$

$S_{полн} = 84 + (67.5 + 58.5) + 105$

$S_{полн} = 84 + 126 + 105$

$S_{полн} = 210 + 105 = 315 \text{ м}^2$

Ответ:

Площадь полной поверхности пирамиды равна $315 \text{ м}^2$.