Номер 151, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

151. Докажите, что разверткой боковой поверхности правильного тетраэдра может быть трапеция.

Рассмотрим правильный тетраэдр со стороной $a$. Боковая поверхность правильного тетраэдра состоит из трех равных правильных треугольников, каждый из которых имеет сторону $a$.

Для доказательства того, что разверткой боковой поверхности правильного тетраэдра может быть трапеция, рассмотрим следующую конфигурацию расположения этих трех треугольников ($T_1, T_2, T_3$) в одной плоскости.

1. Расположим первый правильный треугольник $T_1$ так, чтобы одна из его сторон лежала на горизонтальной прямой. Пусть это будет треугольник $ABP$, где $A$, $B$ — вершины, лежащие на прямой, а $P$ — третья вершина. Длина каждой стороны треугольника $ABP$ равна $a$.

2. Присоединим второй правильный треугольник $T_2$ к $T_1$ по стороне $BP$. Пусть это будет треугольник $BCQ$, где $B$, $C$ — вершины, лежащие на той же горизонтальной прямой, что и $AB$, а $Q$ — третья вершина. Длина каждой стороны треугольника $BCQ$ равна $a$.

3. Присоединим третий правильный треугольник $T_3$ к $T_2$ по стороне $CQ$. Пусть это будет треугольник $CDR$, где $C$, $D$ — вершины, лежащие на той же горизонтальной прямой, что и $BC$, а $R$ — третья вершина. Длина каждой стороны треугольника $CDR$ равна $a$.

Таким образом, мы получили три правильных треугольника $ABP$, $BCQ$, $CDR$, расположенных так, что их основания $AB$, $BC$, $CD$ образуют единый отрезок $AD$ на горизонтальной прямой.

Рассмотрим внешний контур полученной плоской фигуры. Он представляет собой многоугольник с вершинами $A$, $D$, $R$, $Q$, $P$.

Проанализируем этот многоугольник:

• Нижняя сторона фигуры — это отрезок $AD$. Его длина равна сумме длин оснований трех треугольников: $AD = AB + BC + CD = a + a + a = 3a$.

• Вершины $P, Q, R$ являются вершинами соответствующих правильных треугольников. Поскольку все три треугольника правильные и расположены своими основаниями на одной прямой, их верхние вершины $P, Q, R$ будут лежать на одной прямой, параллельной нижней прямой.

  Чтобы подтвердить это, представим координаты: Пусть $A = (0,0)$. Тогда $B = (a,0)$, $C = (2a,0)$, $D = (3a,0)$. Вершина $P$ треугольника $ABP$ будет иметь координаты $(a/2, a\sqrt{3}/2)$. Вершина $Q$ треугольника $BCQ$ будет иметь координаты $(a + a/2, a\sqrt{3}/2) = (3a/2, a\sqrt{3}/2)$. Вершина $R$ треугольника $CDR$ будет иметь координаты $(2a + a/2, a\sqrt{3}/2) = (5a/2, a\sqrt{3}/2)$.

  Отрезок, соединяющий $P$ и $R$, является верхней стороной фигуры. Его координаты $P(a/2, a\sqrt{3}/2)$ и $R(5a/2, a\sqrt{3}/2)$. Этот отрезок горизонтален (имеет одинаковую координату $y$) и его длина составляет $5a/2 - a/2 = 2a$.

• Боковые (непараллельные) стороны фигуры:

  Отрезок $AP$ соединяет $(0,0)$ и $(a/2, a\sqrt{3}/2)$. Его длина равна $a$.

  Отрезок $DR$ соединяет $(3a,0)$ и $(5a/2, a\sqrt{3}/2)$. Его длина также равна $a$.

Таким образом, полученная плоская фигура $ADRP$ является четырехугольником, у которого стороны $AD$ (длиной $3a$) и $PR$ (длиной $2a$) параллельны. Стороны $AP$ и $DR$ равны по длине ($a$). Следовательно, эта фигура является равнобедренной трапецией.

Эта развертка, состоящая из трех равносторонних треугольников, может быть использована для формирования боковой поверхности правильного тетраэдра. При складывании этой развертки, стороны $AP$ и $DR$ будут склеиваться с соответствующими сторонами, а вершины $P, Q, R$ будут совпадать в одной точке, образуя общую вершину (апекс) тетраэдра. Отрезки $AB, BC, CD$ образуют ребра, лежащие в основании тетраэдра.

Ответ: Доказано, что разверткой боковой поверхности правильного тетраэдра может быть трапеция.