Номер 250, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

250. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между прямой, проходящей через точки $M(-2; 0; -1)$ и $N(10; 3; 3)$, и плоскостью, параллельной оси $Oz$ и содержащей точки $A(1; -2; 0)$ и $B(3; 1; 0)$.

Дано:

Точки прямой: $M(-2; 0; -1)$, $N(10; 3; 3)$

Точки плоскости: $A(1; -2; 0)$, $B(3; 1; 0)$

Плоскость параллельна оси $Oz$.

Найти:

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью с точностью до $1^\circ$.

Решение:

1. Найдем направляющий вектор прямой.

Направляющий вектор прямой, проходящей через точки $M$ и $N$, можно найти как вектор $\vec{MN}$.

$\vec{l} = \vec{MN} = (N_x - M_x; N_y - M_y; N_z - M_z)$

$\vec{l} = (10 - (-2); 3 - 0; 3 - (-1)) = (12; 3; 4)$.

Модуль направляющего вектора: $||\vec{l}|| = \sqrt{12^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 9 + 16} = \sqrt{169} = 13$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости.

Плоскость проходит через точки $A(1; -2; 0)$ и $B(3; 1; 0)$ и параллельна оси $Oz$.

Если плоскость параллельна оси $Oz$, это означает, что ее нормальный вектор $\vec{n}=(A, B, C)$ перпендикулярен направляющему вектору оси $Oz$, который равен $\vec{k}=(0, 0, 1)$. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n} \cdot \vec{k} = A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 1 = 0 \Rightarrow C = 0$.

Таким образом, нормальный вектор плоскости имеет вид $\vec{n}=(A, B, 0)$.

Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости:

$\vec{AB} = (B_x - A_x; B_y - A_y; B_z - A_z) = (3 - 1; 1 - (-2); 0 - 0) = (2; 3; 0)$.

Поскольку нормальный вектор $\vec{n}$ перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости, их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{n} \cdot \vec{AB} = (A, B, 0) \cdot (2, 3, 0) = 2A + 3B + 0 \cdot 0 = 0$.

$2A + 3B = 0$.

Мы можем выбрать простые значения для $A$ и $B$, удовлетворяющие этому уравнению. Например, если $A=3$, то $2(3) + 3B = 0 \Rightarrow 6 + 3B = 0 \Rightarrow 3B = -6 \Rightarrow B = -2$.

Таким образом, нормальный вектор плоскости $\vec{n}=(3; -2; 0)$.

Модуль нормального вектора: $||\vec{n}|| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 4 + 0} = \sqrt{13}$.

3. Вычислим угол между прямой и плоскостью.

Угол $\phi$ между прямой с направляющим вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ определяется формулой:

$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (12)(3) + (3)(-2) + (4)(0) = 36 - 6 + 0 = 30$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|30|}{13 \cdot \sqrt{13}} = \frac{30}{13\sqrt{13}}$

Для удобства вычислений домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{13}$:

$\sin \phi = \frac{30\sqrt{13}}{13 \cdot 13} = \frac{30\sqrt{13}}{169}$

Вычислим численное значение:

$\sqrt{13} \approx 3.605551275$

$\sin \phi \approx \frac{30 \cdot 3.605551275}{169} = \frac{108.16653825}{169} \approx 0.6399794867$

Найдем угол $\phi$ как арксинус этого значения:

$\phi = \arcsin(0.6399794867) \approx 39.794^\circ$

4. Округлим результат до 1 градуса.

$\phi \approx 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$