Номер 253, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

253. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M(1; -1; 2)$ и перпендикулярной прямой:

a) $\begin{cases} 3x - y - z - 1 = 0 \\ 2x + y + 3z + 4 = 0 \end{cases}$,

б) $\begin{cases} x + y + z - 5 = 0 \\ -x + 4y + 3 = 0 \end{cases}$.

Дано:

Точка $M(1; -1; 2)$.

Прямая задана пересечением двух плоскостей.

Найти:

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной заданной прямой.

Решение:

Для того чтобы составить уравнение плоскости $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$, нам необходимо знать нормальный вектор этой плоскости $\vec{N} = (A, B, C)$ и координаты точки $M(x_0, y_0, z_0)$, через которую она проходит. Точка $M(1; -1; 2)$ задана, то есть $x_0=1$, $y_0=-1$, $z_0=2$.

Поскольку искомая плоскость перпендикулярна заданной прямой, то направляющий вектор этой прямой $\vec{l}$ является нормальным вектором искомой плоскости, то есть $\vec{N} = \vec{l}$.

Прямая задана как пересечение двух плоскостей. Если уравнения плоскостей имеют вид $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, то их нормальные векторы равны $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ соответственно. Направляющий вектор прямой, которая является их пересечением, находится как векторное произведение этих нормальных векторов: $\vec{l} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.

а)

Уравнения плоскостей, задающих прямую:

$3x - y - z - 1 = 0$

$2x + y + 3z + 4 = 0$

Нормальные векторы этих плоскостей:

$\vec{n_1} = (3, -1, -1)$

$\vec{n_2} = (2, 1, 3)$

Найдем направляющий вектор прямой $\vec{l_a}$ как векторное произведение $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$:

$\vec{l_a} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(3) - (1)(-1)) - \vec{j}((3)(3) - (2)(-1)) + \vec{k}((3)(1) - (2)(-1))$

$\vec{l_a} = \vec{i}(-3 + 1) - \vec{j}(9 + 2) + \vec{k}(3 + 2)$

$\vec{l_a} = -2\vec{i} - 11\vec{j} + 5\vec{k}$

Таким образом, нормальный вектор искомой плоскости $\vec{N_a} = (-2, -11, 5)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(1; -1; 2)$ с нормальным вектором $\vec{N_a} = (-2, -11, 5)$, имеет вид:

$-2(x - 1) - 11(y - (-1)) + 5(z - 2) = 0$

$-2(x - 1) - 11(y + 1) + 5(z - 2) = 0$

$-2x + 2 - 11y - 11 + 5z - 10 = 0$

$-2x - 11y + 5z - 19 = 0$

Умножим на $-1$ для удобства:

$2x + 11y - 5z + 19 = 0$

Ответ:

Уравнение плоскости: $2x + 11y - 5z + 19 = 0$

б)

Уравнения плоскостей, задающих прямую:

$x + y + z - 5 = 0$

$-x + 4y + 3 = 0$ (заметим, что коэффициент при $z$ равен $0$)

Нормальные векторы этих плоскостей:

$\vec{n_1} = (1, 1, 1)$

$\vec{n_2} = (-1, 4, 0)$

Найдем направляющий вектор прямой $\vec{l_b}$ как векторное произведение $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$:

$\vec{l_b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}((1)(0) - (4)(1)) - \vec{j}((1)(0) - (-1)(1)) + \vec{k}((1)(4) - (-1)(1))$

$\vec{l_b} = \vec{i}(0 - 4) - \vec{j}(0 + 1) + \vec{k}(4 + 1)$

$\vec{l_b} = -4\vec{i} - 1\vec{j} + 5\vec{k}$

Таким образом, нормальный вектор искомой плоскости $\vec{N_b} = (-4, -1, 5)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(1; -1; 2)$ с нормальным вектором $\vec{N_b} = (-4, -1, 5)$, имеет вид:

$-4(x - 1) - 1(y - (-1)) + 5(z - 2) = 0$

$-4(x - 1) - 1(y + 1) + 5(z - 2) = 0$

$-4x + 4 - y - 1 + 5z - 10 = 0$

$-4x - y + 5z - 7 = 0$

Умножим на $-1$ для удобства:

$4x + y - 5z + 7 = 0$

Ответ:

Уравнение плоскости: $4x + y - 5z + 7 = 0$