Номер 254, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

254. Вектор $\vec{a} (1 - t; 4 + t; t)$ имеет наименьшую длину. Найдите угол между прямой, содержащей этот вектор, и плоскостью $4x - 4y + 2z - 7 = 0$.

Дано:

Вектор $\vec{a} = (1 - t; 4 + t; t)$

Плоскость $4x - 4y + 2z - 7 = 0$

Найти:

Угол между прямой, содержащей вектор $\vec{a}$ с наименьшей длиной, и данной плоскостью.

Решение:

Для начала найдем значение параметра $t$, при котором вектор $\vec{a}$ имеет наименьшую длину. Длина вектора $|\vec{a}|$ определяется как $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Минимизация длины равносильна минимизации квадрата длины:

$|\vec{a}|^2 = (1 - t)^2 + (4 + t)^2 + t^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$|\vec{a}|^2 = (1 - 2t + t^2) + (16 + 8t + t^2) + t^2$

$|\vec{a}|^2 = 1 - 2t + t^2 + 16 + 8t + t^2 + t^2$

$|\vec{a}|^2 = 3t^2 + 6t + 17$

Это квадратичная функция от $t$, график которой представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $t^2$ равен 3, что больше 0). Минимальное значение такой функции достигается в вершине параболы. Координата $t$ вершины параболы $At^2 + Bt + C$ находится по формуле $t = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A=3$, $B=6$, $C=17$.

$t = -\frac{6}{2 \cdot 3} = -\frac{6}{6} = -1$

Теперь подставим найденное значение $t = -1$ в координаты вектора $\vec{a}$:

$\vec{a} = (1 - (-1); 4 + (-1); -1)$

$\vec{a} = (1 + 1; 4 - 1; -1)$

$\vec{a} = (2; 3; -1)$

Этот вектор $\vec{a}$ является направляющим вектором прямой, содержащей его. Обозначим его как $\vec{l} = (2; 3; -1)$.

Уравнение плоскости дано как $4x - 4y + 2z - 7 = 0$. Нормальный вектор плоскости $\vec{n}$ имеет координаты, равные коэффициентам при $x$, $y$, $z$ в общем уравнении плоскости, то есть $\vec{n} = (4; -4; 2)$.

Угол $\phi$ между прямой, задаваемой направляющим вектором $\vec{l}$, и плоскостью, задаваемой нормальным вектором $\vec{n}$, определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| \cdot |\vec{n}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (2)(4) + (3)(-4) + (-1)(2)$

$\vec{l} \cdot \vec{n} = 8 - 12 - 2$

$\vec{l} \cdot \vec{n} = -6$

Вычислим длины векторов $|\vec{l}|$ и $|\vec{n}|$:

$|\vec{l}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

$|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$

Теперь подставим эти значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|-6|}{\sqrt{14} \cdot 6}$

$\sin \phi = \frac{6}{6\sqrt{14}}$

$\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{14}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{14}$:

$\sin \phi = \frac{\sqrt{14}}{14}$

Угол $\phi$ находится как арксинус этого значения:

$\phi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{14}}{14}\right)$

Ответ:

Угол между прямой и плоскостью равен $\arcsin\left(\frac{\sqrt{14}}{14}\right)$.