Номер 259, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

259. При каких значениях $t$ угол между прямыми, содержащими векторы $\vec{a}(0; 1; t)$ и $\vec{b}(-1; 0; t)$, равен:

a) $90^{\circ}$;

б) $60^{\circ}$?

Дано:

Векторы $\vec{a} = (0; 1; t)$ и $\vec{b} = (-1; 0; t)$.

Найти:

Значения $t$, при которых угол $\phi$ между прямыми, содержащими векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, равен:

а) $90^\circ$

б) $60^\circ$

Решение:

Угол $\phi$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:

$\cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Сначала вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0) \cdot (-1) + (1) \cdot (0) + (t) \cdot (t) = 0 + 0 + t^2 = t^2$

Затем вычислим модули (длины) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + t^2} = \sqrt{1 + t^2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + t^2} = \sqrt{1 + t^2}$

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{t^2}{\sqrt{1 + t^2} \cdot \sqrt{1 + t^2}} = \frac{t^2}{1 + t^2}$

Теперь рассмотрим каждый из случаев.

а) 90°

Если угол между прямыми равен $90^\circ$, то $\cos 90^\circ = 0$.

Приравняем выражение для $\cos \phi$ к $0$:

$\frac{t^2}{1 + t^2} = 0$

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Заметим, что $1 + t^2$ всегда больше или равно $1$ (так как $t^2 \ge 0$), поэтому знаменатель никогда не равен нулю.

Следовательно, $t^2 = 0$, откуда $t = 0$.

Ответ: $t=0$

б) 60°

Если угол между прямыми равен $60^\circ$, то $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Приравняем выражение для $\cos \phi$ к $\frac{1}{2}$:

$\frac{t^2}{1 + t^2} = \frac{1}{2}$

Перемножим крест-накрест:

$2 \cdot t^2 = 1 \cdot (1 + t^2)$

$2t^2 = 1 + t^2$

Перенесем $t^2$ в левую часть уравнения:

$2t^2 - t^2 = 1$

$t^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$t = \pm 1$

Ответ: $t=\pm 1$