Номер 266, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

266. Найдите площадь поверхности тетраэдра, вершинами которого являются начало координат и точки пересечения плоскости $5x - 2y - 4z - 20 = 0$ с осями координат.

Дано:

Плоскость задана уравнением: $5x - 2y - 4z - 20 = 0$.

Одна из вершин тетраэдра - начало координат $O(0, 0, 0)$.

Остальные вершины - точки пересечения данной плоскости с осями координат.

Найти:

Площадь поверхности тетраэдра.

Решение:

1. Определение координат вершин тетраэдра.

Одна вершина тетраэдра - это начало координат $O(0, 0, 0)$.

Найдем точки пересечения плоскости $5x - 2y - 4z - 20 = 0$ с координатными осями:

Пересечение с осью Ox (где $y=0, z=0$):

$5x - 2(0) - 4(0) - 20 = 0$

$5x - 20 = 0$

$5x = 20$

$x = 4$

Таким образом, первая точка $A(4, 0, 0)$.

Пересечение с осью Oy (где $x=0, z=0$):

$5(0) - 2y - 4(0) - 20 = 0$

$-2y - 20 = 0$

$-2y = 20$

$y = -10$

Таким образом, вторая точка $B(0, -10, 0)$.

Пересечение с осью Oz (где $x=0, y=0$):

$5(0) - 2(0) - 4z - 20 = 0$

$-4z - 20 = 0$

$-4z = 20$

$z = -5$

Таким образом, третья точка $C(0, 0, -5)$.

Вершины тетраэдра: $O(0, 0, 0)$, $A(4, 0, 0)$, $B(0, -10, 0)$, $C(0, 0, -5)$.

2. Вычисление площадей граней тетраэдра.

Тетраэдр имеет четыре грани. Три из них лежат в координатных плоскостях и являются прямоугольными треугольниками.

Площадь грани $S_{OAB}$ (в плоскости Oxy):

Эта грань представляет собой прямоугольный треугольник с катетами вдоль осей Ox и Oy.

Длина катета OA: $|4| = 4$.

Длина катета OB: $|-10| = 10$.

$S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20$ квадратных единиц.

Площадь грани $S_{OAC}$ (в плоскости Oxz):

Эта грань представляет собой прямоугольный треугольник с катетами вдоль осей Ox и Oz.

Длина катета OA: $|4| = 4$.

Длина катета OC: $|-5| = 5$.

$S_{OAC} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10$ квадратных единиц.

Площадь грани $S_{OBC}$ (в плоскости Oyz):

Эта грань представляет собой прямоугольный треугольник с катетами вдоль осей Oy и Oz.

Длина катета OB: $|-10| = 10$.

Длина катета OC: $|-5| = 5$.

$S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25$ квадратных единиц.

Площадь грани $S_{ABC}$ (в плоскости $5x - 2y - 4z - 20 = 0$):

Для вычисления площади этой грани используем векторное произведение двух векторов, лежащих на сторонах треугольника, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Вектор $\vec{AB} = B - A = (0-4, -10-0, 0-0) = (-4, -10, 0)$.

Вектор $\vec{AC} = C - A = (0-4, 0-0, -5-0) = (-4, 0, -5)$.

Векторное произведение $\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$:

$\vec{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & -10 & 0 \\ -4 & 0 & -5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-10)(-5) - (0)(0)) - \mathbf{j}((-4)(-5) - (0)(-4)) + \mathbf{k}((-4)(0) - (-10)(-4))$

$\vec{N} = \mathbf{i}(50 - 0) - \mathbf{j}(20 - 0) + \mathbf{k}(0 - 40) = (50, -20, -40)$.

Площадь треугольника $S_{ABC}$ равна половине модуля векторного произведения:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{N}| = \frac{1}{2} \sqrt{50^2 + (-20)^2 + (-40)^2}$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{2500 + 400 + 1600} = \frac{1}{2} \sqrt{4500}$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{900 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot 30\sqrt{5} = 15\sqrt{5}$ квадратных единиц.

3. Вычисление общей площади поверхности тетраэдра.

Общая площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей всех его граней:

$S_{total} = S_{OAB} + S_{OAC} + S_{OBC} + S_{ABC}$

$S_{total} = 20 + 10 + 25 + 15\sqrt{5}$

$S_{total} = 55 + 15\sqrt{5}$ квадратных единиц.

Ответ:

Площадь поверхности тетраэдра составляет $55 + 15\sqrt{5}$ квадратных единиц.