Номер 272, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

11. Упражнения на повторение раздела «Применение уравнений прямой и плоскости». II. Применение уравнений прямой и плоскости - номер 272, страница 85.

Условие.

272. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{i}$ равен $120^\circ$, а между векторами $\vec{a}$ и $\vec{k}$ – $135^\circ$. Найдите угол между прямыми, на которых лежат векторы $\vec{a}$ и $\vec{j}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Угол между вектором $ \vec{a} $ и ортом $ \vec{i} $: $ \alpha = 120^\circ $.

Угол между вектором $ \vec{a} $ и ортом $ \vec{k} $: $ \gamma = 135^\circ $.

Векторы $ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} $ являются ортонормированным базисом, то есть $ |\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1 $ и они попарно ортогональны (например, $ \vec{i} \cdot \vec{j} = 0 $).

Перевод в СИ:

Углы: $ \alpha = 120^\circ = 120 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад} $.

$ \gamma = 135^\circ = 135 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{3\pi}{4} \text{ рад} $.

Для удобства расчетов с тригонометрическими функциями и ввиду того, что исходные данные представлены в градусах, дальнейшие вычисления будут производиться с использованием градусов.

Найти:

Угол $ \theta $ между прямыми, на которых лежат векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{j} $.

Решение:

Пусть вектор $ \vec{a} $ имеет координаты $ (x, y, z) $ в ортонормированном базисе $ \{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} $. Тогда $ \vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} $.

Длина вектора $ \vec{a} $ равна $ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $.

Косинусы углов, которые вектор $ \vec{a} $ образует с ортами базиса, называются направляющими косинусами. Обозначим угол между $ \vec{a} $ и $ \vec{j} $ как $ \beta $.

Из определения скалярного произведения векторов $ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \phi $, где $ \phi $ - угол между векторами $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $.

Для угла $ \alpha $ между $ \vec{a} $ и $ \vec{i} $:

$ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{i}}{|\vec{a}| |\vec{i}|} $.

Скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{i} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{i} = x(\vec{i} \cdot \vec{i}) + y(\vec{j} \cdot \vec{i}) + z(\vec{k} \cdot \vec{i}) = x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0 = x $.

Так как $ |\vec{i}| = 1 $, получаем $ \cos \alpha = \frac{x}{|\vec{a}|} $, откуда $ x = |\vec{a}| \cos \alpha $.

Для угла $ \gamma $ между $ \vec{a} $ и $ \vec{k} $:

$ \cos \gamma = \frac{\vec{a} \cdot \vec{k}}{|\vec{a}| |\vec{k}|} $.

Скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{k} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{k} = x \cdot 0 + y \cdot 0 + z \cdot 1 = z $.

Так как $ |\vec{k}| = 1 $, получаем $ \cos \gamma = \frac{z}{|\vec{a}|} $, откуда $ z = |\vec{a}| \cos \gamma $.

Для угла $ \beta $ между $ \vec{a} $ и $ \vec{j} $:

$ \cos \beta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{j}}{|\vec{a}| |\vec{j}|} $.

Скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{j} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{j} = x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0 = y $.

Так как $ |\vec{j}| = 1 $, получаем $ \cos \beta = \frac{y}{|\vec{a}|} $, откуда $ y = |\vec{a}| \cos \beta $.

Известно, что для любого вектора $ \vec{a} $ с координатами $ (x, y, z) $, его квадрат длины равен сумме квадратов его координат: $ |\vec{a}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 $.

Подставим полученные выражения для $ x, y, z $:

$ |\vec{a}|^2 = (|\vec{a}| \cos \alpha)^2 + (|\vec{a}| \cos \beta)^2 + (|\vec{a}| \cos \gamma)^2 $

$ |\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 \cos^2 \alpha + |\vec{a}|^2 \cos^2 \beta + |\vec{a}|^2 \cos^2 \gamma $

Поскольку $ |\vec{a}| $ не может быть равен нулю (иначе углы не были бы определены), мы можем разделить обе части уравнения на $ |\vec{a}|^2 $:

$ 1 = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma $.

Это тождество связывает направляющие косинусы вектора.

Подставим известные значения углов:

$ \alpha = 120^\circ $

$ \gamma = 135^\circ $

Вычислим значения косинусов:

$ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} $

$ \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Подставим эти значения в тождество:

$ 1 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \beta + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 $

$ 1 = \frac{1}{4} + \cos^2 \beta + \frac{2}{4} $

$ 1 = \frac{1}{4} + \cos^2 \beta + \frac{1}{2} $

$ 1 = \frac{3}{4} + \cos^2 \beta $

$ \cos^2 \beta = 1 - \frac{3}{4} $

$ \cos^2 \beta = \frac{1}{4} $

$ \cos \beta = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} $

$ \cos \beta = \pm \frac{1}{2} $

Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{j} $ может быть $ 60^\circ $ (если $ \cos \beta = \frac{1}{2} $) или $ 120^\circ $ (если $ \cos \beta = -\frac{1}{2} $).

Угол между прямыми, на которых лежат векторы, по определению является острым углом (от $ 0^\circ $ до $ 90^\circ $). Если $ \beta $ - угол между векторами, то угол между прямыми $ \theta = \arccos(|\cos \beta|) $.

Следовательно, $ \theta = \arccos\left(\left|\pm \frac{1}{2}\right|\right) $

$ \theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) $

$ \theta = 60^\circ $.

Ответ:

Угол между прямыми, на которых лежат векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{j} $, составляет $ 60^\circ $.