Номер 271, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

11. Упражнения на повторение раздела «Применение уравнений прямой и плоскости». II. Применение уравнений прямой и плоскости - номер 271, страница 85.

Условие.

271. Даны векторы $\vec{AB} = 4\vec{i} + 2\vec{j}$, $\vec{AC} = 3\vec{i} + 4\vec{j}$. Найдите угол между прямыми AC и CB.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Вектор $\vec{AB} = 4\vec{i} + 2\vec{j}$

Вектор $\vec{AC} = 3\vec{i} + 4\vec{j}$

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $CB$.

Решение:

Для того чтобы найти угол между прямыми $AC$ и $CB$, нам необходимо найти координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$.

Вектор $\vec{AC}$ задан в координатной форме как $(3, 4)$.

Вектор $\vec{CB}$ можно найти как разность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, так как $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$:

$\vec{CB} = \vec{AB} - \vec{AC}$

$\vec{CB} = (4\vec{i} + 2\vec{j}) - (3\vec{i} + 4\vec{j})$

$\vec{CB} = (4 - 3)\vec{i} + (2 - 4)\vec{j}$

$\vec{CB} = 1\vec{i} - 2\vec{j}$

Таким образом, координаты вектора $\vec{CB}$ равны $(1, -2)$.

Угол $\phi$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:

$\cos \phi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{CB} = (3)(1) + (4)(-2) = 3 - 8 = -5$

Найдем длины (модули) векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$|\vec{CB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Теперь подставим эти значения в формулу для косинуса угла между векторами:

$\cos \theta = \frac{-5}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

Здесь $\theta$ — это угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$. Поскольку нас просят найти угол между прямыми $AC$ и $CB$, мы должны найти острый угол. Если косинус отрицателен, то угол между векторами тупой. Угол между прямыми будет острым, и его косинус будет равен абсолютному значению косинуса угла между векторами:

$\cos \phi = |\cos \theta| = \left|-\frac{\sqrt{5}}{5}\right| = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Следовательно, угол $\phi$ равен:

$\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$

Ответ:

Угол между прямыми $AC$ и $CB$ равен $\arccos\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$.