Номер 273, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

273. Дан тетраэдр $PABC$. Известны координаты его вершины $C(0; 4; 0)$ и точки $M(2; 3; -2)$ – середины ребра $AB$. Найдите высоту $PH$ этого тетраэдра, если $H$ принадлежит прямой $CM$, а координаты вершины $P$ равны:

а) $(1; 2; -1)$;

б) $(1; 2; 3)$.

Дано:

Координаты вершины $C(0; 4; 0)$

Координаты точки $M(2; 3; -2)$ - середины ребра $AB$

Высота тетраэдра $PH$, где точка $H$ принадлежит прямой $CM$.

Найти:

Длину высоты $PH$

Решение:

Высота тетраэдра $PH$ - это перпендикуляр, опущенный из вершины $P$ на плоскость основания $ABC$.

Точка $H$ является проекцией точки $P$ на плоскость $ABC$.

По условию, точка $H$ принадлежит прямой $CM$. Так как прямая $CM$ лежит в плоскости $ABC$, и $H$ является проекцией $P$ на плоскость $ABC$, то вектор $\vec{PH}$ должен быть перпендикулярен любой прямой в плоскости $ABC$, проходящей через $H$. В частности, $\vec{PH}$ перпендикулярен прямой $CM$.

Следовательно, задача сводится к нахождению длины перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на прямую $CM$.

Сначала найдем направляющий вектор прямой $CM$:

$\vec{CM} = M - C = (2-0, 3-4, -2-0) = (2, -1, -2)$.

Обозначим координаты точки $H$ на прямой $CM$ как $H(x_H, y_H, z_H)$. Точка $H$ лежит на прямой $CM$, поэтому ее координаты можно выразить параметрически:

$H = C + t \cdot \vec{CM} = (0, 4, 0) + t(2, -1, -2) = (2t, 4-t, -2t)$, где $t$ - некоторый скаляр.

Теперь рассмотрим две подзадачи в зависимости от координат вершины $P$.

Пусть координаты вершины $P$ равны $(1; 2; -1)$.

Найдем вектор $\vec{PH}$:

$\vec{PH} = H - P = (2t - 1, (4-t) - 2, (-2t) - (-1)) = (2t - 1, 2 - t, 1 - 2t)$.

Поскольку $\vec{PH} \perp \vec{CM}$, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{PH} \cdot \vec{CM} = 0$.

$(2t - 1) \cdot 2 + (2 - t) \cdot (-1) + (1 - 2t) \cdot (-2) = 0$

$4t - 2 - 2 + t - 2 + 4t = 0$

$9t - 6 = 0$

$9t = 6$

$t = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Теперь подставим значение $t$ в выражение для вектора $\vec{PH}$:

$\vec{PH} = (2 \cdot \frac{2}{3} - 1, 2 - \frac{2}{3}, 1 - 2 \cdot \frac{2}{3}) = (\frac{4}{3} - 1, \frac{6}{3} - \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

$\vec{PH} = (\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{1}{3})$.

Длина высоты $PH$ равна модулю вектора $\vec{PH}$:

$PH = |\vec{PH}| = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (-\frac{1}{3})^2}$

$PH = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{16}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{1+16+1}{9}} = \sqrt{\frac{18}{9}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

Пусть координаты вершины $P$ равны $(1; 2; 3)$.

Найдем вектор $\vec{PH}$:

$\vec{PH} = H - P = (2t - 1, (4-t) - 2, (-2t) - 3) = (2t - 1, 2 - t, -2t - 3)$.

Поскольку $\vec{PH} \perp \vec{CM}$, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{PH} \cdot \vec{CM} = 0$.

$(2t - 1) \cdot 2 + (2 - t) \cdot (-1) + (-2t - 3) \cdot (-2) = 0$

$4t - 2 - 2 + t + 4t + 6 = 0$

$9t + 2 = 0$

$9t = -2$

$t = -\frac{2}{9}$.

Теперь подставим значение $t$ в выражение для вектора $\vec{PH}$:

$\vec{PH} = (2 \cdot (-\frac{2}{9}) - 1, 2 - (-\frac{2}{9}), -2 \cdot (-\frac{2}{9}) - 3)$

$\vec{PH} = (-\frac{4}{9} - \frac{9}{9}, \frac{18}{9} + \frac{2}{9}, \frac{4}{9} - \frac{27}{9})$

$\vec{PH} = (-\frac{13}{9}, \frac{20}{9}, -\frac{23}{9})$.

Длина высоты $PH$ равна модулю вектора $\vec{PH}$:

$PH = |\vec{PH}| = \sqrt{(-\frac{13}{9})^2 + (\frac{20}{9})^2 + (-\frac{23}{9})^2}$

$PH = \sqrt{\frac{169}{81} + \frac{400}{81} + \frac{529}{81}} = \sqrt{\frac{169 + 400 + 529}{81}} = \sqrt{\frac{1098}{81}}$.

Упростим дробь под корнем. Числитель $1098$ и знаменатель $81$ делятся на $9$.

$\frac{1098}{81} = \frac{1098 \div 9}{81 \div 9} = \frac{122}{9}$.

$PH = \sqrt{\frac{122}{9}} = \frac{\sqrt{122}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{122}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{122}}{3}$.