Номер 280, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

280. Дан тетраэдр $PABC$, высотой которого является ребро $PA$, причем $PA = 6$, $\angle APC = \angle APB = 45^\circ$, $\angle BPC = 60^\circ$. Точка $M$ – середина ребра $AP$, $N$ делит ребро $AC$ в отношении $1:2$, считая от точки $A$, $K$ делит ребро $AB$ в отношении $2:1$, считая от точки $A$. Тогда расстояние от точки $A$ до плоскости $MNK$ равно:

1) $\frac{12}{\sqrt{61}}$; 2) $\frac{3}{2}$; 3) $\frac{12}{\sqrt{13}}$; 4) $\frac{1}{\sqrt{29}}$; 5) $\frac{4}{3}$.

Дано:

Тетраэдр $PABC$.

Ребро $PA$ является высотой тетраэдра, то есть $PA \perp \text{плоскости } ABC$.

$PA = 6$.

$\angle APC = 45^\circ$, $\angle APB = 45^\circ$.

$\angle BPC = 60^\circ$.

Точка $M$ — середина ребра $AP$.

Точка $N$ делит ребро $AC$ в отношении $1:2$, считая от точки $A$ ($AN:NC = 1:2$).

Точка $K$ делит ребро $AB$ в отношении $2:1$, считая от точки $A$ ($AK:KB = 2:1$).

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $MNK$.

Решение:

Поскольку ребро $PA$ является высотой тетраэдра, это означает, что $PA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, треугольники $APB$ и $APC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A$.

Из $\triangle APB$: $AP=6$, $\angle APB = 45^\circ$. Так как $\triangle APB$ прямоугольный в $A$, то $AB = AP \cdot \tan(\angle APB) = 6 \cdot \tan(45^\circ) = 6 \cdot 1 = 6$.

Из $\triangle APC$: $AP=6$, $\angle APC = 45^\circ$. Так как $\triangle APC$ прямоугольный в $A$, то $AC = AP \cdot \tan(\angle APC) = 6 \cdot \tan(45^\circ) = 6 \cdot 1 = 6$.

Найдем длины ребер $PB$ и $PC$ из прямоугольных треугольников:

$PB = \sqrt{AP^2 + AB^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.

$PC = \sqrt{AP^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.

Рассмотрим $\triangle BPC$. Известны $PB=6\sqrt{2}$, $PC=6\sqrt{2}$ и $\angle BPC = 60^\circ$. Поскольку две стороны равны и угол между ними равен $60^\circ$, $\triangle BPC$ является равносторонним. Следовательно, $BC = PB = PC = 6\sqrt{2}$.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Известны длины сторон $AB=6$, $AC=6$, $BC=6\sqrt{2}$. Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему Пифагора: $AB^2 + AC^2 = 6^2 + 6^2 = 36+36=72$. $BC^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72$. Так как $AB^2 + AC^2 = BC^2$, $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

Удобно ввести систему координат. Пусть точка $A$ находится в начале координат $A=(0,0,0)$.

Поскольку $PA \perp \text{плоскости } ABC$, ребро $PA$ можно расположить по оси $z$. Тогда $P=(0,0,6)$.

Так как $\triangle ABC$ прямоугольный в $A$, ребра $AB$ и $AC$ можно расположить по осям $x$ и $y$ соответственно. Тогда $B=(6,0,0)$ и $C=(0,6,0)$.

Теперь найдем координаты точек $M, N, K$:

Точка $M$ — середина ребра $AP$. $A=(0,0,0)$, $P=(0,0,6)$.

$M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right) = (0,0,3)$.

Точка $N$ делит ребро $AC$ в отношении $1:2$, считая от $A$. $AN:NC = 1:2$. $A=(0,0,0)$, $C=(0,6,0)$.

$N = \frac{2A + 1C}{1+2} = \frac{2(0,0,0) + 1(0,6,0)}{3} = \left(0, \frac{6}{3}, 0\right) = (0,2,0)$.

Точка $K$ делит ребро $AB$ в отношении $2:1$, считая от $A$. $AK:KB = 2:1$. $A=(0,0,0)$, $B=(6,0,0)$.

$K = \frac{1A + 2B}{1+2} = \frac{1(0,0,0) + 2(6,0,0)}{3} = \left(\frac{12}{3}, 0, 0\right) = (4,0,0)$.

Итак, координаты точек: $M(0,0,3)$, $N(0,2,0)$, $K(4,0,0)$.

Найдем уравнение плоскости $MNK$. Общее уравнение плоскости $ax+by+cz+d=0$.

Подставим координаты точек:

• Для $M(0,0,3)$: $a(0) + b(0) + c(3) + d = 0 \implies 3c+d=0 \implies d=-3c$.
• Для $N(0,2,0)$: $a(0) + b(2) + c(0) + d = 0 \implies 2b+d=0 \implies 2b = -d$. Подставляя $d=-3c$, получаем $2b = 3c \implies b = \frac{3}{2}c$.
• Для $K(4,0,0)$: $a(4) + b(0) + c(0) + d = 0 \implies 4a+d=0 \implies 4a = -d$. Подставляя $d=-3c$, получаем $4a = 3c \implies a = \frac{3}{4}c$.

Пусть $c=4$ (для удобства, чтобы избавиться от дробей).

Тогда $a = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$.

$b = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$.

$d = -3 \cdot 4 = -12$.

Уравнение плоскости $MNK$: $3x+6y+4z-12=0$.

Расстояние от точки $A(0,0,0)$ до плоскости $3x+6y+4z-12=0$ вычисляется по формуле:

$D = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

$D = \frac{|3(0) + 6(0) + 4(0) - 12|}{\sqrt{3^2 + 6^2 + 4^2}}$

$D = \frac{|-12|}{\sqrt{9 + 36 + 16}}$

$D = \frac{12}{\sqrt{61}}$.

Ответ:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $MNK$ равно $\frac{12}{\sqrt{61}}$.