Номер 284, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

284. Основание прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – квадрат, сторона которого равна 1, а боковое ребро равно 2. Найдите:

а) расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABM$, где $M$ – середина ребра $DD_1$;

б) угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $A_1BD$;

в) угол между плоскостями $AB_1D_1$ и $A_1C_1D$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a = 1$.

Боковое ребро $h = 2$.

Точка $M$ — середина ребра $DD_1$.

Перевод в СИ:

$a = 1$ (условная единица длины)

$h = 2$ (условная единица длины)

Найти:

а) Расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABM$.

б) Угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $A_1BD$.

в) Угол между плоскостями $AB_1D_1$ и $A_1C_1D$.

Решение

Зададим систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$

$C = (1,1,0)$

$D = (0,1,0)$

$A_1 = (0,0,2)$

$B_1 = (1,0,2)$

$C_1 = (1,1,2)$

$D_1 = (0,1,2)$

а) расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABM$, где $M$ – середина ребра $DD_1$

Координаты точки $M$, как середины ребра $DD_1$: $M = (\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+2}{2}) = (0,1,1)$.

Плоскость $ABM$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $M(0,1,1)$.

Найдем векторы, лежащие в плоскости $ABM$:

$\vec{AB} = B - A = (1,0,0)$

$\vec{AM} = M - A = (0,1,1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ABM$ перпендикулярен этим векторам. Найдем его как векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-0) - \mathbf{j}(1-0) + \mathbf{k}(1-0) = (0, -1, 1)$.

Уравнение плоскости $ABM$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя координаты вектора нормали $(0,-1,1)$, получаем $0x - 1y + 1z + D = 0$, или $-y + z + D = 0$.

Так как плоскость проходит через точку $A(0,0,0)$, подставим ее координаты: $-0 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 0$.

Таким образом, уравнение плоскости $ABM$ есть $y - z = 0$ (или $0x + 1y - 1z + 0 = 0$).

Расстояние от точки $A_1(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Для точки $A_1=(0,0,2)$ и плоскости $0x + 1y - 1z + 0 = 0$:

$d(A_1, ABM) = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{0+1+1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

б) угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $A_1BD$

Найдем направляющий вектор прямой $BD_1$. Точки: $B(1,0,0)$ и $D_1(0,1,2)$.

$\vec{v} = \vec{BD_1} = D_1 - B = (0-1, 1-0, 2-0) = (-1, 1, 2)$.

Найдем вектор нормали к плоскости $A_1BD$. Точки: $A_1(0,0,2)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$.

Найдем два вектора, лежащие в плоскости $A_1BD$:

$\vec{BA_1} = A_1 - B = (0-1, 0-0, 2-0) = (-1, 0, 2)$

$\vec{BD} = D - B = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$

Вектор нормали $\vec{n}_{A_1BD}$ к плоскости $A_1BD$:

$\vec{n}_{A_1BD} = \vec{BA_1} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-2) - \mathbf{j}(0-(-2)) + \mathbf{k}(-1-0) = (-2, -2, -1)$.

Можно использовать эквивалентный вектор $(2,2,1)$ для упрощения вычислений, но $(-2,-2,-1)$ также корректен.

Угол $\phi$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{v}$) и плоскостью (с вектором нормали $\vec{n}$) определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v} = (-1, 1, 2)$ и $\vec{n} = (-2, -2, -1)$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1)(-2) + (1)(-2) + (2)(-1) = 2 - 2 - 2 = -2$.

Вычислим длины векторов:

$||\vec{v}|| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.

$||\vec{n}|| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

Подставим значения в формулу для синуса угла:

$\sin \phi = \frac{|-2|}{\sqrt{6} \cdot 3} = \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3 \cdot 6} = \frac{2\sqrt{6}}{18} = \frac{\sqrt{6}}{9}$.

Таким образом, угол $\phi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{9}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{9}\right)$

в) угол между плоскостями $AB_1D_1$ и $A_1C_1D$

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}_1$ для плоскости $AB_1D_1$. Точки: $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,2)$, $D_1(0,1,2)$.

Векторы в плоскости:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (1,0,2)$

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0,1,2)$

$\vec{n}_1 = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-2) - \mathbf{j}(2-0) + \mathbf{k}(1-0) = (-2, -2, 1)$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}_2$ для плоскости $A_1C_1D$. Точки: $A_1(0,0,2)$, $C_1(1,1,2)$, $D(0,1,0)$.

Векторы в плоскости:

$\vec{DA_1} = A_1 - D = (0-0, 0-1, 2-0) = (0, -1, 2)$

$\vec{DC_1} = C_1 - D = (1-0, 1-1, 2-0) = (1, 0, 2)$

$\vec{n}_2 = \vec{DA_1} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2-0) - \mathbf{j}(0-2) + \mathbf{k}(0-(-1)) = (-2, 2, 1)$.

Угол $\theta$ между двумя плоскостями определяется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| \cdot ||\vec{n}_2||}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n}_1 = (-2, -2, 1)$ и $\vec{n}_2 = (-2, 2, 1)$:

$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (-2)(-2) + (-2)(2) + (1)(1) = 4 - 4 + 1 = 1$.

Вычислим длины нормальных векторов:

$||\vec{n}_1|| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

$||\vec{n}_2|| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

Подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|1|}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$.

Таким образом, угол $\theta = \arccos\left(\frac{1}{9}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{9}\right)$