Номер 289, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

289. a) Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна $16\sqrt{2}$ см. Чему равен радиус основания цилиндра?

б) Найдите высоту цилиндра, если диагональ его осевого сечения составляет с образующей цилиндра угол $30^\circ$, а диаметр его основания равен $4\sqrt{3}$ см.

a)

Дано:

Цилиндр равносторонний

Диагональ осевого сечения $d = 16\sqrt{2}$ см

Перевод в СИ:

$d = 16\sqrt{2}$ см $= 0.16\sqrt{2}$ м

Найти:

Радиус основания цилиндра $R$

Решение:

Осевое сечение равностороннего цилиндра представляет собой квадрат. В равностороннем цилиндре высота $H$ равна диаметру основания $D$.

$H = D$

Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. В нашем случае сторона квадрата — это высота $H$ (или диаметр $D$).

Следовательно, $d = H\sqrt{2}$.

Нам дано $d = 16\sqrt{2}$ см.

Тогда $H\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ см.

Отсюда $H = 16$ см.

Так как цилиндр равносторонний, $D = H = 16$ см.

Радиус основания $R$ равен половине диаметра $D$:

$R = D / 2$

$R = 16 / 2$ см

$R = 8$ см

Ответ: 8 см

б)

Дано:

Осевое сечение цилиндра

Угол между диагональю осевого сечения и образующей $\alpha = 30^\circ$

Диаметр основания $D = 4\sqrt{3}$ см

Перевод в СИ:

$D = 4\sqrt{3}$ см $= 0.04\sqrt{3}$ м

$\alpha = 30^\circ$

Найти:

Высота цилиндра $H$

Решение:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра $H$ (образующая) и диаметр основания $D$. Диагональ осевого сечения, высота $H$ и диаметр $D$ образуют прямоугольный треугольник.

Угол между диагональю и образующей (высотой) равен $30^\circ$. В этом прямоугольном треугольнике:

Катет, прилежащий к углу $30^\circ$, равен высоте $H$.

Катет, противолежащий углу $30^\circ$, равен диаметру $D$.

Используем тригонометрическое соотношение тангенса:

$\tan(\alpha) = \text{противолежащий катет} / \text{прилежащий катет}$

$\tan(30^\circ) = D / H$

Мы знаем, что $\tan(30^\circ) = 1/\sqrt{3}$.

Подставляем известные значения:

$1/\sqrt{3} = (4\sqrt{3}) / H$

Для того чтобы найти $H$, выразим его из уравнения:

$H = (4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

$H = 4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$

$H = 4 \cdot 3$

$H = 12$ см

Ответ: 12 см