Номер 285, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

12. Цилиндр и его элементы. Сечение цилиндра плоскостью. III. Тела вращения и их элементы - номер 285, страница 92.

Условие.

285. На рисунке 113 укажите четырехугольник, при вращении которого во-

круг стороны $AB$, получится равносторонний цилиндр:

а)

B $a$ C

$a$

A D

б)

B $\frac{1}{2}a$ C

$a$

A D

в)

B $a$ C

$a$

A D

г)

C $a$ D

$a$

B A

Рисунок 113

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Представлены четыре четырехугольника (а), (б), (в), (г) на рисунке 113. Необходимо определить, какой из них при вращении вокруг стороны $AB$ образует равносторонний цилиндр.

(Перевод данных в систему СИ не требуется, так как отсутствуют числовые значения с единицами измерения.)

Найти:

Четырехугольник, при вращении которого вокруг стороны $AB$ получится равносторонний цилиндр.

Решение:

Равносторонний цилиндр – это цилиндр, у которого высота $h$ равна диаметру основания $D$. Поскольку диаметр $D$ равен удвоенному радиусу $r$ ($D = 2r$), условие для равностороннего цилиндра можно записать как $h = 2r$.

Цилиндр образуется при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. В этом случае сторона, вокруг которой происходит вращение, становится высотой цилиндра $h$, а перпендикулярная ей сторона, исходящая из той же вершины, становится радиусом основания цилиндра $r$.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов:

а)

На рисунке (а) изображена прямоугольная трапеция $ABCD$. При вращении трапеции вокруг стороны $AB$ (высота $h = AB = a$) не образуется простой цилиндр. Фигура вращения будет представлять собой комбинацию цилиндра и усеченного конуса, так как стороны $AD$ и $BC$ имеют разную длину и не параллельны друг другу.

Ответ: Не подходит.

б)

На рисунке (б) изображен прямоугольник $ABCD$. Сторона вращения $AB$ имеет длину $a$. Таким образом, высота образующегося цилиндра $h = AB = a$.

Сторона $BC$ перпендикулярна стороне $AB$ и имеет длину $\frac{1}{2}a$. Эта сторона будет радиусом основания цилиндра $r = BC = \frac{1}{2}a$.

Проверим условие для равностороннего цилиндра $h = 2r$:

Высота цилиндра: $h = a$

Удвоенный радиус основания: $2r = 2 \times \left(\frac{1}{2}a\right) = a$

Поскольку $h = a$ и $2r = a$, то $h = 2r$. Условие для равностороннего цилиндра выполняется.

Ответ: Подходит.

в)

На рисунке (в) изображен квадрат $ABCD$. Сторона вращения $AB$ имеет длину $a$. Таким образом, высота образующегося цилиндра $h = AB = a$.

Сторона $BC$ перпендикулярна стороне $AB$ и имеет длину $a$ (поскольку это квадрат). Эта сторона будет радиусом основания цилиндра $r = BC = a$.

Проверим условие для равностороннего цилиндра $h = 2r$:

Высота цилиндра: $h = a$

Удвоенный радиус основания: $2r = 2 \times a = 2a$

Поскольку $h = a$ и $2r = 2a$, то $h \neq 2r$ (если $a \neq 0$). Условие не выполняется.

Ответ: Не подходит.

г)

На рисунке (г) изображен параллелограмм $ABCD$. При вращении параллелограмма вокруг стороны $AB$ не образуется простой цилиндр, так как стороны $AD$ и $BC$ не перпендикулярны стороне $AB$ (если только это не прямоугольник, что видно из рисунка). Фигура вращения будет более сложной, чем простой цилиндр.

Ответ: Не подходит.

Из рассмотренных вариантов только четырехугольник под буквой (б) при вращении вокруг стороны $AB$ образует равносторонний цилиндр.

Ответ: четырехугольник под буквой б).