Номер 292, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

12. Цилиндр и его элементы. Сечение цилиндра плоскостью. III. Тела вращения и их элементы - номер 292, страница 93.

Условие.

292. Цилиндр получен вращением квадрата около его стороны, равной 15 см. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости его сечения, параллельного ей, площадь которого равна $270 \text{ см}^2$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Сторона квадрата, которая является одновременно высотой цилиндра $h$ и радиусом основания $R$: $a = 15 \text{ см}$

Площадь сечения, параллельного оси цилиндра: $S_{сеч} = 270 \text{ см}^2$

Перевод в СИ:

$h = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$R = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$S_{сеч} = 270 \text{ см}^2 = 0.027 \text{ м}^2$

Найти:

Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения $x$.

Решение:

Цилиндр образуется вращением квадрата вокруг одной из его сторон. Следовательно, сторона квадрата, вокруг которой происходит вращение, становится высотой цилиндра ($h$), а другая сторона квадрата становится радиусом основания цилиндра ($R$).

Таким образом, высота цилиндра $h = a = 15 \text{ см}$.

Радиус основания цилиндра $R = a = 15 \text{ см}$.

Сечение, параллельное оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника - это высота цилиндра $h$. Другая сторона - это хорда основания цилиндра. Пусть длина этой хорды будет $w$.

Площадь прямоугольного сечения $S_{сеч}$ вычисляется как произведение его сторон: $S_{сеч} = w \cdot h$.

Известна площадь сечения $S_{сеч} = 270 \text{ см}^2$ и высота цилиндра $h = 15 \text{ см}$. Найдем ширину сечения $w$:

$w = \frac{S_{сеч}}{h} = \frac{270 \text{ см}^2}{15 \text{ см}} = 18 \text{ см}$

Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения $x$ - это расстояние от центра окружности основания до хорды $w$. Эта хорда делит диаметр перпендикулярно пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, половиной хорды $\frac{w}{2}$ и искомым расстоянием $x$. По теореме Пифагора:

$R^2 = x^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2$

У нас $R = 15 \text{ см}$ и $\frac{w}{2} = \frac{18 \text{ см}}{2} = 9 \text{ см}$. Подставим эти значения:

$15^2 = x^2 + 9^2$

$225 = x^2 + 81$

$x^2 = 225 - 81$

$x^2 = 144$

$x = \sqrt{144}$

$x = 12 \text{ см}$

Ответ:

Расстояние от оси цилиндра до плоскости его сечения составляет $12 \text{ см}$.