Номер 299, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

299. Через образующую цилиндра проведены две секущие плоскости, угол между которыми равен $\beta$. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если одно из сечений является осевым.

Дано:

Угол между двумя секущими плоскостями, проведенными через одну образующую цилиндра: $\beta$.

Одно из сечений является осевым.

Найти:

Отношение площадей сечений.

Решение:

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания ($2R$), а другая — высоте цилиндра ($H$).

Площадь осевого сечения $S_1$ равна:

$S_1 = 2R \cdot H$

Второе сечение также является прямоугольником, поскольку оно проходит через образующую цилиндра (т.е. параллельно оси цилиндра). Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($H$), а другая сторона является хордой основания цилиндра. Обозначим длину этой хорды $a$.

Площадь второго сечения $S_2$ равна:

$S_2 = a \cdot H$

Обе секущие плоскости проходят через одну и ту же образующую цилиндра. Угол между этими плоскостями равен $\beta$. Этот угол является двугранным углом, и его величина измеряется в плоскости, перпендикулярной общей образующей. Такой плоскостью является плоскость основания цилиндра (или любая плоскость, параллельная ей).

Рассмотрим проекцию ситуации на плоскость основания цилиндра. Общая образующая проецируется в точку на окружности основания. Пусть эта точка будет $A$.

Осевое сечение, проходящее через образующую $A$, пересекает основание по диаметру. Пусть этот диаметр будет $AD$. Длина $AD = 2R$.

Второе сечение, проходящее через образующую $A$, пересекает основание по некоторой хорде. Пусть эта хорда будет $AE$. Длина $AE = a$.

Угол между плоскостями $\beta$ соответствует углу между отрезками $AD$ и $AE$ в плоскости основания, так как эти отрезки перпендикулярны общей образующей (которая в плоскости основания проецируется в точку $A$). Таким образом, $\angle DAE = \beta$.

Треугольник $ADE$ вписан в окружность, и одна из его сторон ($AD$) является диаметром. Следовательно, угол, опирающийся на диаметр, является прямым. То есть $\angle AED = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADE$:

• Гипотенуза $AD = 2R$.
• Угол $\angle DAE = \beta$.
• Искомый катет (хорда) $AE = a$.

Используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AE}{AD}$

$\cos(\beta) = \frac{a}{2R}$

Отсюда находим длину хорды $a$:

$a = 2R \cos(\beta)$

Теперь подставим это значение $a$ в формулу для площади $S_2$:

$S_2 = (2R \cos(\beta)) \cdot H = 2RH \cos(\beta)$

Наконец, найдем отношение площадей сечений. Если не указано иное, обычно искомым является отношение менее "специфического" сечения к более "специфическому" (т.е. произвольного к осевому), или же наоборот, в зависимости от контекста. Примем отношение площади второго (произвольного) сечения к площади осевого сечения:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{2RH \cos(\beta)}{2RH}$

$\frac{S_2}{S_1} = \cos(\beta)$

Ответ:

Отношение площадей сечений равно $\cos(\beta)$.