Номер 302, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

302. Через образующую цилиндра проведены две секущие плоскости цилиндра. Площади полученных сечений равны $10\sqrt{3}\text{ см}^2$ и $10\sqrt{2}\text{ см}^2$. Найдите угол между плоскостями этих сечений, если радиус основания цилиндра равен 2 см, а его высота 5 см.

Дано

Радиус основания цилиндра: $R = 2 \text{ см}$
Высота цилиндра: $h = 5 \text{ см}$
Площадь первого сечения: $S_1 = 10\sqrt{3} \text{ см}^2$
Площадь второго сечения: $S_2 = 10\sqrt{2} \text{ см}^2$

Перевод в СИ

Все величины уже приведены в согласованных единицах (сантиметры), поэтому дополнительный перевод в систему СИ не требуется для вычислений.
$R = 2 \text{ см}$
$h = 5 \text{ см}$
$S_1 = 10\sqrt{3} \text{ см}^2$
$S_2 = 10\sqrt{2} \text{ см}^2$

Найти

Угол между плоскостями сечений: $\alpha$

Решение

Секущая плоскость, проведенная через образующую цилиндра, образует в сечении прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая сторона — хорде основания $a$. Площадь такого сечения $S = a \cdot h$.

Найдем длины хорд $a_1$ и $a_2$ для каждого сечения:
Для первого сечения:
$a_1 = \frac{S_1}{h} = \frac{10\sqrt{3}}{5} = 2\sqrt{3} \text{ см}$
Для второго сечения:
$a_2 = \frac{S_2}{h} = \frac{10\sqrt{2}}{5} = 2\sqrt{2} \text{ см}$

Теперь найдем центральные углы $\phi_1$ и $\phi_2$, которые стягивают эти хорды в основании цилиндра радиусом $R = 2 \text{ см}$. Формула для длины хорды: $a = 2R \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)$.
Для хорды $a_1$:
$2\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \sin\left(\frac{\phi_1}{2}\right)$
$2\sqrt{3} = 4 \sin\left(\frac{\phi_1}{2}\right)$
$\sin\left(\frac{\phi_1}{2}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Из этого следует, что $\frac{\phi_1}{2} = 60^\circ$, поэтому $\phi_1 = 120^\circ$.

Для хорды $a_2$:
$2\sqrt{2} = 2 \cdot 2 \sin\left(\frac{\phi_2}{2}\right)$
$2\sqrt{2} = 4 \sin\left(\frac{\phi_2}{2}\right)$
$\sin\left(\frac{\phi_2}{2}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Из этого следует, что $\frac{\phi_2}{2} = 45^\circ$, поэтому $\phi_2 = 90^\circ$.

Поскольку обе секущие плоскости проходят через одну и ту же образующую цилиндра, угол между этими плоскостями равен углу между соответствующими хордами в плоскости основания, если эти хорды исходят из одной точки (точки пересечения образующей с основанием).
Пусть $A$ — точка на окружности основания, через которую проходит общая образующая. Пусть $D_1$ и $D_2$ — другие концы хорд $a_1$ и $a_2$ соответственно, исходящие из точки $A$. Угол между плоскостями будет равен углу $\angle D_1AD_2$. Это вписанный угол в окружность.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Центральные углы, соответствующие хордам $AD_1$ и $AD_2$, равны $\phi_1 = 120^\circ$ и $\phi_2 = 90^\circ$ соответственно.

Возможны два случая расположения хорд относительно друг друга (и относительно диаметра, проходящего через точку $A$):

1. Хорды расположены по одну сторону от диаметра, проходящего через $A$. В этом случае центральный угол, опирающийся на дугу $D_1D_2$, равен разности центральных углов: $\angle D_1OD_2 = |\phi_1 - \phi_2| = |120^\circ - 90^\circ| = 30^\circ$. Тогда вписанный угол $\angle D_1AD_2 = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ$.
2. Хорды расположены по разные стороны от диаметра, проходящего через $A$. В этом случае центральный угол, опирающийся на дугу $D_1D_2$, равен сумме центральных углов: $\angle D_1OD_2 = \phi_1 + \phi_2 = 120^\circ + 90^\circ = 210^\circ$. Тогда вписанный угол $\angle D_1AD_2 = \frac{1}{2} \cdot 210^\circ = 105^\circ$.

По определению, угол между двумя плоскостями обычно принимается как острый угол. Следовательно, из двух возможных значений $15^\circ$ и $105^\circ$, выбираем $15^\circ$.

Ответ: $15^\circ$