Страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

302. Через образующую цилиндра проведены две секущие плоскости цилиндра. Площади полученных сечений равны $10\sqrt{3}\text{ см}^2$ и $10\sqrt{2}\text{ см}^2$. Найдите угол между плоскостями этих сечений, если радиус основания цилиндра равен 2 см, а его высота 5 см.

Дано

Радиус основания цилиндра: $R = 2 \text{ см}$
Высота цилиндра: $h = 5 \text{ см}$
Площадь первого сечения: $S_1 = 10\sqrt{3} \text{ см}^2$
Площадь второго сечения: $S_2 = 10\sqrt{2} \text{ см}^2$

Перевод в СИ

Все величины уже приведены в согласованных единицах (сантиметры), поэтому дополнительный перевод в систему СИ не требуется для вычислений.
$R = 2 \text{ см}$
$h = 5 \text{ см}$
$S_1 = 10\sqrt{3} \text{ см}^2$
$S_2 = 10\sqrt{2} \text{ см}^2$

Найти

Угол между плоскостями сечений: $\alpha$

Решение

Секущая плоскость, проведенная через образующую цилиндра, образует в сечении прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая сторона — хорде основания $a$. Площадь такого сечения $S = a \cdot h$.

Найдем длины хорд $a_1$ и $a_2$ для каждого сечения:
Для первого сечения:
$a_1 = \frac{S_1}{h} = \frac{10\sqrt{3}}{5} = 2\sqrt{3} \text{ см}$
Для второго сечения:
$a_2 = \frac{S_2}{h} = \frac{10\sqrt{2}}{5} = 2\sqrt{2} \text{ см}$

Теперь найдем центральные углы $\phi_1$ и $\phi_2$, которые стягивают эти хорды в основании цилиндра радиусом $R = 2 \text{ см}$. Формула для длины хорды: $a = 2R \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)$.
Для хорды $a_1$:
$2\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \sin\left(\frac{\phi_1}{2}\right)$
$2\sqrt{3} = 4 \sin\left(\frac{\phi_1}{2}\right)$
$\sin\left(\frac{\phi_1}{2}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Из этого следует, что $\frac{\phi_1}{2} = 60^\circ$, поэтому $\phi_1 = 120^\circ$.

Для хорды $a_2$:
$2\sqrt{2} = 2 \cdot 2 \sin\left(\frac{\phi_2}{2}\right)$
$2\sqrt{2} = 4 \sin\left(\frac{\phi_2}{2}\right)$
$\sin\left(\frac{\phi_2}{2}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Из этого следует, что $\frac{\phi_2}{2} = 45^\circ$, поэтому $\phi_2 = 90^\circ$.

Поскольку обе секущие плоскости проходят через одну и ту же образующую цилиндра, угол между этими плоскостями равен углу между соответствующими хордами в плоскости основания, если эти хорды исходят из одной точки (точки пересечения образующей с основанием).
Пусть $A$ — точка на окружности основания, через которую проходит общая образующая. Пусть $D_1$ и $D_2$ — другие концы хорд $a_1$ и $a_2$ соответственно, исходящие из точки $A$. Угол между плоскостями будет равен углу $\angle D_1AD_2$. Это вписанный угол в окружность.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Центральные углы, соответствующие хордам $AD_1$ и $AD_2$, равны $\phi_1 = 120^\circ$ и $\phi_2 = 90^\circ$ соответственно.

Возможны два случая расположения хорд относительно друг друга (и относительно диаметра, проходящего через точку $A$):

1. Хорды расположены по одну сторону от диаметра, проходящего через $A$. В этом случае центральный угол, опирающийся на дугу $D_1D_2$, равен разности центральных углов: $\angle D_1OD_2 = |\phi_1 - \phi_2| = |120^\circ - 90^\circ| = 30^\circ$. Тогда вписанный угол $\angle D_1AD_2 = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ$.
2. Хорды расположены по разные стороны от диаметра, проходящего через $A$. В этом случае центральный угол, опирающийся на дугу $D_1D_2$, равен сумме центральных углов: $\angle D_1OD_2 = \phi_1 + \phi_2 = 120^\circ + 90^\circ = 210^\circ$. Тогда вписанный угол $\angle D_1AD_2 = \frac{1}{2} \cdot 210^\circ = 105^\circ$.

По определению, угол между двумя плоскостями обычно принимается как острый угол. Следовательно, из двух возможных значений $15^\circ$ и $105^\circ$, выбираем $15^\circ$.

Ответ: $15^\circ$

303. Двугранный угол между плоскостями двух сечений цилиндра, проходящими через одну из его образующих, равен $60^\circ$. Площади этих сечений равны $110 \, \text{см}^2$ и $130 \, \text{см}^2$. Найдите радиус основания цилиндра, если его высота равна $10 \, \text{см}$.

Дано:

Двугранный угол между плоскостями сечений: $\phi = 60^\circ$

Площадь первого сечения: $S_1 = 110 \text{ см}^2$

Площадь второго сечения: $S_2 = 130 \text{ см}^2$

Высота цилиндра: $H = 10 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$S_1 = 110 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.011 \text{ м}^2$

$S_2 = 130 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.013 \text{ м}^2$

$H = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра: $R$

Решение:

Сечения цилиндра, проходящие через его образующую, являются прямоугольниками. Одна из сторон такого прямоугольника - это высота цилиндра $H$, а другая - хорда основания. Пусть $w_1$ и $w_2$ - длины этих хорд.

Площадь сечения вычисляется как произведение длины хорды на высоту цилиндра:

$S_1 = w_1 \cdot H \implies w_1 = \frac{S_1}{H}$

$w_1 = \frac{110 \text{ см}^2}{10 \text{ см}} = 11 \text{ см}$

$S_2 = w_2 \cdot H \implies w_2 = \frac{S_2}{H}$

$w_2 = \frac{130 \text{ см}^2}{10 \text{ см}} = 13 \text{ см}$

Двугранный угол между плоскостями двух сечений, проходящих через одну образующую, равен углу между соответствующими хордами в основании цилиндра, если эти хорды исходят из одной точки (конца общей образующей на основании).

Рассмотрим треугольник, образованный этими двумя хордами $w_1$ и $w_2$ и отрезком, соединяющим их другие концы. Пусть вершины этого треугольника будут $A$, $B$, $C$, где $AB = w_1$, $AC = w_2$, а угол между ними $\angle BAC = \phi = 60^\circ$. Все три вершины $A, B, C$ лежат на окружности основания цилиндра. Таким образом, радиус основания цилиндра $R$ является радиусом описанной окружности для треугольника $ABC$.

По теореме косинусов найдем длину стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

$BC^2 = (11 \text{ см})^2 + (13 \text{ см})^2 - 2 \cdot (11 \text{ см}) \cdot (13 \text{ см}) \cdot \cos(60^\circ)$

$BC^2 = 121 \text{ см}^2 + 169 \text{ см}^2 - 2 \cdot 143 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 290 \text{ см}^2 - 143 \text{ см}^2$

$BC^2 = 147 \text{ см}^2$

$BC = \sqrt{147} \text{ см} = \sqrt{49 \cdot 3} \text{ см} = 7\sqrt{3} \text{ см}$

По теореме синусов, радиус описанной окружности $R$ для треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:

$2R = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$

$R = \frac{BC}{2 \sin(\angle BAC)}$

$R = \frac{7\sqrt{3} \text{ см}}{2 \sin(60^\circ)}$

$R = \frac{7\sqrt{3} \text{ см}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$R = \frac{7\sqrt{3} \text{ см}}{\sqrt{3}}$

$R = 7 \text{ см}$

Ответ: 7 см

304. Образующая цилиндра является общей стороной двух его перпендикулярных сечений, площади которых равны $S_1$ и $S_2$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Дано:

Цилиндр.

Два перпендикулярных сечения, имеющие общую образующую цилиндра в качестве стороны.

Площадь первого сечения: $S_1$.

Площадь второго сечения: $S_2$.

Перевод в СИ:

Поскольку значения $S_1$ и $S_2$ даны в общих единицах площади, и ответ будет выражен через эти символы, нет необходимости в переводе в конкретные единицы СИ.

Найти:

Площадь осевого сечения цилиндра: $S_{ос}$.

Решение:

1. Обозначим высоту цилиндра (которая также является образующей) за $h$, а радиус основания цилиндра за $R$.

2. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания ($2R$), а другая сторона — высоте цилиндра ($h$). Следовательно, площадь осевого сечения $S_{ос}$ выражается формулой:

$S_{ос} = 2Rh$

3. Каждое из двух данных перпендикулярных сечений также является прямоугольником. Одной из сторон каждого такого прямоугольника является образующая цилиндра $h$. Другие стороны этих прямоугольников, $d_1$ и $d_2$, являются хордами основания цилиндра.

Площади данных сечений выражаются следующим образом:

$S_1 = d_1 h \Rightarrow d_1 = \frac{S_1}{h}$

$S_2 = d_2 h \Rightarrow d_2 = \frac{S_2}{h}$

4. Согласно условию, образующая цилиндра является общей стороной для этих двух перпендикулярных сечений. Это означает, что эти два прямоугольных сечения имеют общую грань, лежащую на поверхности цилиндра и являющуюся образующей. Пусть эта общая образующая начинается в точке $B$ на окружности основания.

5. Поскольку плоскости сечений перпендикулярны и имеют общую прямую (общую образующую $h$), то хорды $d_1$ (например, $BC$) и $d_2$ (например, $BE$), которые лежат в плоскости основания и перпендикулярны общей образующей, также перпендикулярны друг другу. Таким образом, в плоскости основания хорды $BC$ и $BE$ перпендикулярны, и угол $CBE$ равен $90^\circ$.

6. Треугольник $BCE$ вписан в окружность основания, и поскольку угол $CBE$ является прямым, его гипотенуза $CE$ должна быть диаметром этой окружности. Следовательно, $CE = 2R$.

7. Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $BCE$:

$BC^2 + BE^2 = CE^2$

$d_1^2 + d_2^2 = (2R)^2$

$d_1^2 + d_2^2 = 4R^2$

8. Подставим выражения для $d_1$ и $d_2$ из пункта 3 в полученное уравнение:

$\left(\frac{S_1}{h}\right)^2 + \left(\frac{S_2}{h}\right)^2 = 4R^2$

$\frac{S_1^2}{h^2} + \frac{S_2^2}{h^2} = 4R^2$

$\frac{S_1^2 + S_2^2}{h^2} = 4R^2$

9. Умножим обе части уравнения на $h^2$:

$S_1^2 + S_2^2 = 4R^2 h^2$

10. Мы знаем, что $S_{ос} = 2Rh$. Возведем это выражение в квадрат:

$S_{ос}^2 = (2Rh)^2 = 4R^2 h^2$

11. Сравнивая результаты из пунктов 9 и 10, видим, что:

$S_{ос}^2 = S_1^2 + S_2^2$

Отсюда находим площадь осевого сечения:

$S_{ос} = \sqrt{S_1^2 + S_2^2}$

Ответ:

$S_{ос} = \sqrt{S_1^2 + S_2^2}$

осевого сечения цилиндра.

305. a) Найдите наибольшее расстояние между двумя точками поверхности цилиндра, радиус основания которого равен 6 см, а высота – 5 см.

б) Дан цилиндр, радиус основания которого равен $r$, а образующая – $l$. Найдите наименьший угол между плоскостью его основания и прямой, проходящей через две точки окружностей его оснований.

а) Найдите наибольшее расстояние между двумя точками поверхности цилиндра, радиус основания которого равен 6 см, а высота – 5 см.

Дано:

радиус основания $R = 6 \text{ см}$

высота $H = 5 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$H = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

наибольшее расстояние $D$

Решение:

Наибольшее расстояние между двумя точками на поверхности цилиндра – это длина отрезка, соединяющего две диаметрально противоположные точки на разных основаниях. Этот отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются диаметр основания цилиндра ($2R$) и его высота ($H$).

Воспользуемся теоремой Пифагора:

$D = \sqrt{(2R)^2 + H^2}$

Подставим известные значения:

$D = \sqrt{(2 \cdot 6 \text{ см})^2 + (5 \text{ см})^2}$

$D = \sqrt{(12 \text{ см})^2 + (5 \text{ см})^2}$

$D = \sqrt{144 \text{ см}^2 + 25 \text{ см}^2}$

$D = \sqrt{169 \text{ см}^2}$

$D = 13 \text{ см}$

Ответ: $13 \text{ см}$

б) Дан цилиндр, радиус основания которого равен $r$, а образующая – $l$. Найдите наименьший угол между плоскостью его основания и прямой, проходящей через две точки окружностей его оснований.

Дано:

радиус основания $r$

образующая $l$ (высота цилиндра)

Найти:

наименьший угол $\alpha_{min}$

Решение:

Пусть $P_1$ – точка на окружности верхнего основания, а $P_2$ – точка на окружности нижнего основания. Высота цилиндра равна образующей $l$. Обозначим ее $H = l$.

Пусть $P_1'$ – проекция точки $P_1$ на плоскость нижнего основания. Тогда $P_1'$ лежит на окружности нижнего основания.

Прямая $P_1P_2$ образует угол $\alpha$ с плоскостью нижнего основания. Этот угол определяется как угол между прямой $P_1P_2$ и ее проекцией $P_1'P_2$ на эту плоскость.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $P_1P_1'P_2$, где $P_1P_1'$ – это высота цилиндра, $P_1'P_2$ – отрезок, лежащий в плоскости нижнего основания, а $P_1P_2$ – гипотенуза.

Катет $P_1P_1'$ равен высоте цилиндра $H = l$.

Катет $P_1'P_2$ – это отрезок, соединяющий две точки ($P_1'$ и $P_2$) на окружности нижнего основания.

Угол $\alpha$ между прямой $P_1P_2$ и плоскостью основания – это угол $\angle P_1P_2P_1'$.

Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan \alpha = \frac{P_1P_1'}{P_1'P_2} = \frac{l}{P_1'P_2}$

Чтобы угол $\alpha$ был наименьшим, значение $\tan \alpha$ также должно быть наименьшим. Это достигается, когда знаменатель дроби $P_1'P_2$ максимально возможный.

Точки $P_1'$ и $P_2$ лежат на окружности нижнего основания с радиусом $r$. Наибольшее расстояние между двумя точками на окружности – это ее диаметр.

Следовательно, максимальное значение $P_1'P_2 = 2r$.

Подставим это максимальное значение в формулу для тангенса наименьшего угла:

$\tan \alpha_{min} = \frac{l}{2r}$

Тогда наименьший угол $\alpha_{min}$ равен арктангенсу этого значения:

$\alpha_{min} = \arctan\left(\frac{l}{2r}\right)$

Ответ: $\arctan\left(\frac{l}{2r}\right)$

306. Даны куб с ребром 4 дм и цилиндр с радиусом основания $r$ ($r$ — переменная величина). Ось цилиндра проходит через центры двух противоположных граней куба. Для каждого значения $r$ укажите число образующих цилиндра, лежащих на гранях куба.

Дано:

Куб с ребром $a = 4 \text{ дм}$

Цилиндр с радиусом основания $r$ (переменная величина)

Ось цилиндра проходит через центры двух противоположных граней куба.

Перевод в систему СИ:

$a = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Число образующих цилиндра, лежащих на гранях куба, для каждого значения $r$.

Решение:

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы его центр совпадал с началом координат, а грани были параллельны координатным плоскостям. Тогда координаты вершин куба будут $(\pm a/2, \pm a/2, \pm a/2)$.

Ось цилиндра проходит через центры двух противоположных граней. Пусть это будут верхняя и нижняя грани. Тогда ось цилиндра совпадает с осью $Oz$. Высота цилиндра $H$ будет равна ребру куба, то есть $H=a$.

Поверхность цилиндра описывается уравнением $x^2 + y^2 = r^2$. Образующие цилиндра - это прямые, параллельные оси $Oz$, проходящие через точки окружности основания $(x_0, y_0)$ такие, что $x_0^2 + y_0^2 = r^2$. Эти образующие представляют собой отрезки прямых вида $(x_0, y_0, z)$ для $z \in [-a/2, a/2]$.

Грани куба - это плоскости $x=\pm a/2$, $y=\pm a/2$, $z=\pm a/2$.

Образующие параллельны оси $Oz$. Следовательно, они не могут лежать на верхней или нижней гранях ($z=\pm a/2$), так как эти грани перпендикулярны образующим. Образующие могут лежать только на боковых гранях куба (плоскостях $x=\pm a/2$ и $y=\pm a/2$).

Для того чтобы образующая $(x_0, y_0, z)$, где $x_0^2 + y_0^2 = r^2$ и $z \in [-a/2, a/2]$, лежала на одной из граней куба, ее проекция $(x_0, y_0)$ на плоскость $Oxy$ должна лежать на границе квадрата, образованного проекциями боковых граней куба (то есть внутри квадрата $[-a/2, a/2] \times [-a/2, a/2]$), и при этом сама образующая должна находиться в пределах этой грани. Например, если образующая лежит на грани $x=a/2$, то $x_0=a/2$ и $-a/2 \le y_0 \le a/2$. Аналогичные условия применяются для других боковых граней.

Подставим значение ребра куба $a=4 \text{ дм}$. Тогда $a/2 = 2 \text{ дм}$ и диагональ проекции грани на плоскость $Oxy$ равна $a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ дм}$. Соответственно, радиус окружности, проходящей через вершины квадрата, будет $a\sqrt{2}/2 = 2\sqrt{2} \text{ дм}$.

1. Случай $0 \le r \le 2 \text{ дм}$ ($0 \le r \le a/2$):

В этом случае окружность основания цилиндра $x^2+y^2=r^2$ полностью находится внутри квадрата $[-a/2, a/2] \times [-a/2, a/2]$. Это означает, что $r \le a/2$. Ни одна точка окружности не лежит на линиях $x=\pm a/2$ или $y=\pm a/2$. Следовательно, ни одна образующая цилиндра не лежит на гранях куба.

Ответ: 0

2. Случай $2 \text{ дм} < r < 2\sqrt{2} \text{ дм}$ ($a/2 < r < a\sqrt{2}/2$):

В этом случае окружность $x^2+y^2=r^2$ пересекает каждую из четырех линий $x=\pm a/2, y=\pm a/2$ в двух различных точках.

Например, для линии $x=a/2$, подставляя в уравнение окружности, получаем $(a/2)^2 + y^2 = r^2$, откуда $y = \pm \sqrt{r^2 - (a/2)^2}$.

Поскольку $a/2 < r < a\sqrt{2}/2$, то $r^2 - (a/2)^2$ находится в диапазоне $0 < r^2 - (a/2)^2 < (a/2)^2$. Следовательно, $0 < \sqrt{r^2 - (a/2)^2} < a/2$. Это означает, что значения $y$ находятся в пределах $[-a/2, a/2]$.

Таким образом, на каждой из четырех боковых граней ($x=\pm a/2$ и $y=\pm a/2$) имеется по две образующие, которые полностью лежат на этих гранях. Все эти $2 \times 4 = 8$ образующих различны, так как они не проходят через вершины квадрата ($y \ne \pm a/2$ и $x \ne \pm a/2$).

Ответ: 8

3. Случай $r = 2\sqrt{2} \text{ дм}$ ($r = a\sqrt{2}/2$):

В этом случае $r^2 = 2(a/2)^2$. Подставляя $x=a/2$ в $x^2+y^2=r^2$, получаем $(a/2)^2 + y^2 = 2(a/2)^2$, откуда $y^2 = (a/2)^2$, то есть $y = \pm a/2$.

Это означает, что окружность основания проходит через четыре угловые точки квадрата: $(\pm a/2, \pm a/2)$.

Каждая из этих четырех точек (например, $(a/2, a/2)$) соответствует образующей, которая является ребром куба (вертикальным ребром). Эта образующая лежит одновременно на двух смежных гранях (например, на грани $x=a/2$ и на грани $y=a/2$). Поскольку образующие - это линии, каждая из этих 4 образующих (ребер куба) считается один раз. Все 4 образующие являются уникальными.

Ответ: 4

4. Случай $r > 2\sqrt{2} \text{ дм}$ ($r > a\sqrt{2}/2$):

В этом случае, если мы подставим, например, $x=a/2$ в $x^2+y^2=r^2$, то получим $y = \pm \sqrt{r^2 - (a/2)^2}$.

Поскольку $r > a\sqrt{2}/2$, то $r^2 > 2(a/2)^2$. Следовательно, $r^2 - (a/2)^2 > (a/2)^2$. Это означает, что $\sqrt{r^2 - (a/2)^2} > a/2$. То есть, $|y| > a/2$.

Это значит, что любая образующая, проходящая через плоскость $x=\pm a/2$ или $y=\pm a/2$, имеет координату по $y$ (или по $x$) по модулю больше $a/2$. Таким образом, такие образующие не лежат полностью на соответствующих гранях куба (они "протыкают" грани, но не находятся целиком в их пределах).

Поэтому ни одна образующая не лежит на гранях куба.

Ответ: 0

307. В помещении высотой 1,9 м на полу стоит цилиндрическая бочка.
Можно ли в этом помещении повалить бочку на бок, если диаметр ее основания 1,2 м, а высота – 1,6 м?

Дано:

Высота помещения: $H_{помещения} = 1.9$ м

Диаметр основания бочки: $D_{бочки} = 1.2$ м

Высота бочки: $h_{бочки} = 1.6$ м

Найти:

Можно ли в этом помещении повалить бочку на бок?

Решение:

Когда цилиндрическая бочка стоит на основании, ее высота составляет $h_{бочки} = 1.6$ м. Высота помещения $H_{помещения} = 1.9$ м. Поскольку $1.6 \text{ м} < 1.9 \text{ м}$, бочка помещается в помещении, когда она стоит вертикально.

Когда бочку повалят на бок, ее высота относительно пола будет равна ее диаметру. В данном случае, диаметр основания бочки $D_{бочки} = 1.2$ м.

Для того чтобы бочку можно было повалить на бок, ее диаметр должен быть меньше или равен высоте помещения.

Сравним диаметр бочки с высотой помещения:

$D_{бочки} = 1.2$ м

$H_{помещения} = 1.9$ м

Поскольку $1.2 \text{ м} < 1.9 \text{ м}$, диаметр бочки меньше высоты помещения. Это означает, что бочку можно повалить на бок в данном помещении.

Ответ:

Да, можно. Когда бочка лежит на боку, ее высота будет равна ее диаметру $1.2$ м, что меньше высоты помещения $1.9$ м.